No.4
- 回答日時:
A No.2 の 2. 3. は、並列ではない。
必ず 2.→3. という順番でなくてはならない。
与えられた n 次行列が満たすモニックな n 次方程式というだけでは、
最小多項式が n 次未満の場合、方程式は一意に決まらない。その意味で、
ケイリー・ハミルトンの定理から固有方程式を定義することはできない。
やはり、固有値が満たす方程式としての固有方程式が先にあって、
もとの行列がそれを満たすことがケーリー・ハミルトンの定理だ という
話の順番にならざるを得ないのだ。
A^2 - A - 6E = O という式が書けるのは、x^2 - x - 6 = 0 という
方程式のほうが先にあるからであり、
わざわざ Av = xv を代入して再度 x^2 - x - 6 = 0 を得るまでもない。
No.2
- 回答日時:
それで確かに求まるんだけど, やってることは実はおかしい.
この辺の本来の話の流れは, まず
1. 行列A に対して「固有方程式」という代数方程式が存在する
ということがあって, その上で
2. 固有方程式の解が固有値
3. A 自身が固有方程式を満たす (ケーリー・ハミルトンの定理)
が並列に存在します.
たとえば, #1 の補足にある A に対して
1. A の固有方程式は x^2-x-6=0
であり, この固有方程式があって
2. その解である x = -2, 3 が固有値
3. ケーリー・ハミルトンの定理から A^2-A-6E = O
ということになります.
たぶん「固有方程式」という表現が何らかの事情で出せないための苦肉の策だとは思うけど, 上の流れを理解してほしい.
この回答への補足
なるほど。ありがとうございます。
ではなぜA(a b)
(c d)において
A(x)=α(x),(x)≠(0)
(y) (y) (y) (0)
(αは固有値、xとyの行列は固有べクトル) だと
固有方程式α^2-(a+d)+(ad-bc)=0 となるのでしょうか?
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