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運動方程式を
空間で積分する
または時間で積分する
ということがよくわかりません。
そもそも積分するというのは
どういう意味があるのでしょうか?
どなたか教えて下さい。

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A 回答 (1件)

直感的な解説です。

あまり厳密ではないのでご注意下さい。
正確に理解したい場合はモノの本で勉強して下さいね。
結構長いので頑張って下さい。


以下では全て1次元運動を仮定してお話しします。
ニュートンの運動方程式は

 (1)  d2x/dt2 = F / m

であることはご存じの通りです。
ここで d2x/dt2 は、時間 t の関数として表された
位置 x(t) を時間で2回微分したものです。

微分とは、その量の変化率を表す操作でした。
つまり、位置 x を時間で微分すると、
位置の時間変化率が求まることになります。

位置の時間変化率とは、位置[m]が単位時間[s]内でどれだけ進むか?
ということですから、それはすなわち【速度[m/s]】という量です。

同様に、位置を時間で2回微分したものは、
速度[m/s]を時間[s]で微分したものですから、速度の変化率です。
この量は【加速度[m/s2]】として定義されます。

さて、積分とは早い話が『微分の逆』ですから、
この加速度で表された運動方程式(1)を、時間で1回積分できれば速度が、
2回積分できれば位置が、以下のように求まることになります…

 (2)  dx/dt = ∫(F/m)dt = v(t)
 (3)  x = ∫∫(F/m)dtdt

…と言ってしまえばそれまでですが、
もう少し真面目に、原点に返って考えてみましょう。

########
添付の絵を見て下さい。
これは速度 v を時間 t の関数として v-t 平面に表したものです。今、
【関数 v(t) と t軸 および t=a, t=b で囲まれた部分の面積】
を求めたいとします。
変な形なので、a から b の間に n個 の細い長方形を並べて、
それらの面積の和を、この領域の面積と言い張ることにしましょう。
まず、長方形の面積 S1 は、

 (4)  S1 = Δt * v(t1)

です。ここでこの面積の物理的な意味を考えます。
横幅は微小な時間 Δt で、縦幅は時刻 t1 における速度 v(t1)ですから、
(4)式は、【距離=時間×速度】を表していることは明白です。
結局この面積 S1 を求めることは、
『時刻 t1 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』
を求めていることに他なりません。

同様に、面積 S2 = Δt * v(t2) は、
『時刻 t2 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』
ですし、面積 S3 = Δt * v(t3) は、
『時刻 t3 から微小時間 Δt の間に進んだ距離』
です。

ということは、これらをある時刻 tn のところまで全て足し上げれば、
【ある時刻 t1 から tn までに進んだ距離 x 】を求めることが出来ます。
これを式で書き表すと、

 (5)  x = S1 + S2 + … + Si + … + Sn
      = Σ(Si)
      = Σ{ v(ti) * Δt }   (添字 i = 1→n)

しかし、絵を見ると、関数との間に微妙に隙間があったりして、
どうも気にくわないですよね。長方形の刻みが粗いからこうなるのです。

逆に言えば、刻み数 n を目一杯細かくしてやれば
正確な面積を求めることができるということです。
具体的には何刻みにすればいいか?そう、∞ ですね。
よって、(5)式は

 (6)  x = lim Σ{ v(ti) * Δt }   (添字 i = 1→n, 極限 n→∞)

と書き改められます。lim Σ とは何とも見てくれが悪いので、
これを別の記号で書くことにします。それこそが

 (7)  x = ∫v(t)dt   (範囲 a→b)

です。ついでに Δt を dt と書き換えました。
dt の d は Δ:delta(=微小)の意味です。

というわけで、この計算を『速度を時間で積分する』と呼びます。
速度の積分が距離(位置)を表している、
ということが理解できましたでしょうか?

これは定積分の例なので、x は具体的な数字として求まりますが、
関数形 x(t) を求めたければ v(t) を不定積分すればよいわけですね。
その場合は積分定数が出てきますが、
これは普通、初期条件などから決めることができます。


結局、積分とは、変化を表す量 f から
元の量 F (F(t) を f(t) の原始関数と言います。) を求める操作と言えます。
今の例では、位置 x の変化率である速度 v から、元の x を求めました。
これは当然、速度 v の変化率である加速度 a を時間で積分すれば、
v を求めることがきるということです。

そもそも運動方程式は、位置 x(t) の微分方程式として
与えられるものですから、
これを【解く】とは、すなわち x(t) を求めることに他なりません。
運動方程式を解くには時間積分が不可欠な訳です。
と言っても、残念ながら(2)(3)式のように
単純な積分計算になることは少ないですが…


########
では、(1)式が

 (8)  m * d2x/dt2 = F(x)

という形で書けたとき、この両辺を空間(というか距離 x)で
積分すると何が求まるでしょうか?

 (9)  m * ∫(d2x/dt2)dx = ∫F(x)dx
      ⇔ m * ∫(dv/dt)(dx/dt)dt = ∫F(x)dx
      ⇔ m * ∫d/dt(v^2/2)dt = -U2 + U1
      ⇔ m/2 * (v2)^2 - m/2 * (v1)^2 = -U2 + U1

です。
まず左辺ですが、dx = (dx/dt)dt や、合成関数の微分の公式(の逆)
を使ってちょっとトリッキーな変形をしているのに注意して下さい。
すると、見にくいですが、m/2 * (v)^2 という
見慣れた形が出てきました。これは…運動エネルギーですね。
v2, v1 はそれぞれ t = t2, t1 (x = x2, x1)の時の速度です。

次に右辺ですが、F(x)dx とは、力 F(x) と微小距離 Δx のかけ算ですから、
これはこの力によって物体がされた【仕事】を表します。
F(x) が -U(x) という形に不定積分できたとして、
x = x2, x1 のときの -U(x) を -U2, -U1としています。

(9)式をもっとわかりやすい形に変形します。すると

 (10)  m/2 * (v2)^2 + U2 = m/2 * (v1)^2 + U1

おわかりでしょうか。これはまさに【エネルギー保存則】です。
つまり、-U(x) は物体のポテンシャルエネルギーを表しています。
なぜこんなに都合良くいくのか?
それは、実はこの結果を元にこれらの量を定義しているからです。


いかがでしょうか?
そもそもエネルギーなどの物理量もこの運動方程式の積分から導かれた、
ということをなんとなく理解して頂けたでしょうか?
「運動方程式と積分」の回答画像1
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Q運動方程式の微分積分の計算

 運動方程式の微分積分の計算方法がわかりません。詳しく教えてもらえると嬉しいです。よろしく、お願いします。以下はテキストの抜粋です。

m・dv/dt = F(r)
両辺に速度 v=dr/dt をかけると
mv・dv/dt = F(r)・dr/dt
となる。ここで、
v・dv/dt = d/dt(1/2v^2)  ← この式変形が、分かりません。1/2も不明です。
と変形できるので、上の式は
d/dt [1/2 mv^2(t)] = F・dr(t)/dt

Aベストアンサー

積の微分の公式
(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
をつかっているだけです。

v^2=v・v
v'=dv/dt

です。

d/dt(v^2)=(v^2)'=(v・v)'=v'v+vv'=2vv'=2v・dv/dt

だから、

v・dv/dt=1/2・d/dt(v^2)=d/dt(1/2v^2)

でしよう。

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
MS-IMEはデルで変換します。JIS文字コードでの名前は「デル、ラウンドディー」です。

そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
専門家に向かって「デル」はちょっと危険な香りがします。
キザになってしまうかどうかは,質問者さんのパーソナリティにかかっているでしょう(^^

*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Qdxやdyの本当の意味は?

宜しくお願いします。

昔、高校で
dy/dyの記号を習いました。これは分数ではなくて一塊の記号なのだと習いました。
が、微分方程式ではdyとdxをばらばらにして解を求めたりします。
「両辺をdy倍して…」等々、、、
また、積分の置換積分では約分したりもしますよね。

結局、dy/dxは一塊ではないんですか??やはり分数なのですか?
(何だか高校の数学では騙されてたような気がしてきました)
一塊の記号でないのなら分数っぽい記号ではなくもっと気の利いた記号にすればいい
のにとも思ったりします。

実際の所、
dxの定義は何なんですか?
dyの定義は何なのですか?
本当はdxとdyはばらばらにできるのですか?

どなたかご教示いただけましたら幸いでございます。

Aベストアンサー

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、普通のまっすぐなユークリッドの座標xを基準に取ることがほとんどです。そういうわけで、微分形式(特に1次の微分形式)はdxを基準に取ることが普通です。もちろんdyも1次の微分形式と呼ばれます。なにやら難しそうだけれども、dxや、dyといったものは、座標関数の全微分を表すものなんだ、ということで、単独で定義できるものだということは理解しておいて欲しいと思います。

さて、ふたつの座標x、yには通常ある種の関数関係があることがほとんどです。たとえばy=log xなど。これはグラフのイメージでいうと、普通のグラフを対数グラフにした、というイメージです。あるいは、中学高校でよくやっているのは(もちろん意識してませんが)、x軸かy軸を適当に尺度を変えてやるという変換、y=axというのもよくやります。さて、このときyの全微分をxの全微分で表せないか?ということを考えます。それが次の式です。大学では多変数バージョンを普通やります。

y=f(x)とyがxの関数でかけているとき、yの全微分d(y)はxの全微分d(x)を用いて、
d(y)=f'(x)d(x)
と表される。

これは微積分でやる置換積分の公式(チェイン・ルール)と呼ばれるものそのものです。代数的取り扱いに慣れているのならば、微分形式を抽象的な階数付交代代数と思うことができて、上で表されるチェイン・ルールが成り立つもの、と定義してもよいかと思います。いずれにせよ、微分形式の立場からいうと、d(x)やd(y)は単独に定義できる諸量です。

その意味では、dy/dxという記号は二つの意味に解釈できます。すなわちyというxの関数をxで微分した、という単なる記号だと思う方法(もちろんそれはy=f(x)であるときは、f'(x)を指すわけです)、ただし(d/dx)yと書くほうが望ましい。もうひとつは、微分形式dyとdxの変換則とみる(つまりdyとdxの比だと思う)という方法です。これはdy=f'(x)dxなのだから、dyはdxに比例定数f'(x)で比例している、と思うのだ、というわけです。分数の表記は形式的な意味しか持ちません。ですが、この両方の解釈をよくよく考えてみると、dy/dxは本当に分数のように扱うことが出来ることも意味しています。むしろそうできるように微分形式(dyとかdxとか)の記号を作ったと思うほうがよいでしょう。もう一度かくと、(d/dx)y=dy/dxなのだ、ということです。左が微分記号だと思う立場、右が微分形式の比だと思う立場。いずれも同じ関数f'(x)になっているのです。学習が進めば進むほど、この記号のすごさが理解できると思います。うまく出来すぎていると感嘆するほどです。

微分記号と思うという立場にたったとき、なぜd/dxと書くのか、あるいは積分記号になぜdxがつくのか、ということは高校レベルの数学では理解することはできません。もともとたとえばニュートンなんかが微分を考えたときは、d/dxなどという記号は使わず、単に点(ドット)を関数の上につけて微分を表していたりしました。そういう意味では、現在の微分記号のあり方というのは、単に微分するという記号を超えて、より深遠な意味を持っているとてもすごい記号なのだといえます。

なお蛇足ですが、1次の微分形式は、関数xの微小増加量(の1次近似)とみなすことができて、その意味で、無限小量という解釈も出来ます。物理などでよく使われる考え方です。またこれは大学3年レベルだと思いますが、微分形式を積分したりします。実はそれが高校でも現れる、∫(なんとかかんとか)dxというやつなのです。

数的に定義するというのが、いわゆる微分形式というもののことで、完全に代数的にこれらを定義することができます。ただ、定義しただけでは普通の微分とどう関係があるのか分かりにくく、その辺りは大学の2回生程度の数学になります。

dxというのは微分形式の立場からいうと、xという(座標)関数の全微分のこと、つまりd(x)のことです。dという記号はここでは全微分を表す記号だと思ってください。別の座標yを取ったとき、yの全微分をd(y)と書きます。現実には、座標といったときは曲がった座標を取るよりは、...続きを読む

Qエクセルで計算すると2.43E-19などと表示される。Eとは何ですか?

よろしくお願いします。
エクセルの回帰分析をすると有意水準で2.43E-19などと表示されますが
Eとは何でしょうか?

また、回帰分析の数字の意味が良く分からないのですが、
皆さんは独学されましたか?それとも講座などをうけたのでしょうか?

回帰分析でR2(決定係数)しかみていないのですが
どうすれば回帰分析が分かるようになるのでしょうか?
本を読んだのですがいまいち難しくて分かりません。
教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるための指数表記のことですよ。
・よって、『2.43E-19』とは?
 2.43×1/(10の19乗)で、
 2.43×1/10000000000000000000となり、
 2.43×0.0000000000000000001だから、
 0.000000000000000000243という数値を意味します。

補足:
・E+数値は 10、100、1000 という大きい数を表します。
・E-数値は 0.1、0.01、0.001 という小さい数を表します。
・数学では『2.43×10』の次に、小さい数字で上に『19』と表示します。→http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8C%87%E6%95%B0%E8%A1%A8%E8%A8%98
・最後に『回帰分析』とは何?下の『参考URL』をどうぞ。→『数学』カテゴリで質問してみては?

参考URL:http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9B%9E%E5%B8%B0%E5%88%86%E6%9E%90

★回答
・最初に『回帰分析』をここで説明するのは少し大変なので『E』のみ説明します。
・回答者 No.1 ~ No.3 さんと同じく『指数表記』の『Exponent』ですよ。
・『指数』って分かりますか?
・10→1.0E+1(1.0×10の1乗)→×10倍
・100→1.0E+2(1.0×10の2乗)→×100倍
・1000→1.0E+3(1.0×10の3乗)→×1000倍
・0.1→1.0E-1(1.0×1/10の1乗)→×1/10倍→÷10
・0.01→1.0E-2(1.0×1/10の2乗)→×1/100倍→÷100
・0.001→1.0E-3(1.0×1/10の3乗)→×1/1000倍→÷1000
・になります。ようするに 10 を n 乗すると元の数字になるた...続きを読む

Qなぜ、エネルギーはスカラーですか?

自分でもつまらないこととは思っていますが、気になったことがありますので、質問します。
下に関連する項目を順番に並べてあります。

長さ  L   ベクトル
速さ  L/T  ベクトル
加速度  L/T^2   ベクトル
力    ML/T^2   ベクトル
エネルギー  ML^2/T^2   スカラ―

質問したいことは、ベクトルの項目が連なっているのに、なぜ、エネルギーは(あるいはエネルギーから)スカラ―になるのですか?

Aベストアンサー

空間的方向性がベクトルであり、それが時間的方向になると
方向性のないエネルギー=スカラーになります。
静止質量をエネルギーにするとmc^2であり、運動する物体の
エネルギーがmv^2である時、「静止」とは光速で時間軸方向
に移動していると言えます。


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