３×３のビンゴにおける確率計算。

３×３のビンゴにおける確率計算。

１．３×３で真ん中がFREEのビンゴを行う。
２．周囲のマスに１～１２から８つ数字を選んで記入する。

この状態で数字を発表する回数毎にBINGOする人がでる確率を教えてください。

１２ではなくいろんな数字で試したいので求め方もあわせて回答していただけると幸いです。

No.1 回答者： DJ-Potato 回答日時： 2011/11/14 19:29

１２３

４Ｆ５
６７８

８個の数字でまずやります。

１個目に角(１(368))が出て、
　次に対角(８)が出たら２個目でビンゴ　４通り
　次に隣(２(4))が出た
　　３つ目は(３７８)でビンゴ　24通り
　　３つ目に(４）が出たら　４つ目で何が出てもビンゴ　40通り
　　３つ目に(５）が出たら
　　　４つ目に(３４７８)でビンゴ　32通り
　　　４つ目に(６)が出たら　５つ目で何が出てもビンゴ　32通り
　　３つ目に(６）が出たら
　　　４つ目に(３４７８)でビンゴ　32通り
　　　４つ目に(５)が出たら　５つ目で何が出てもビンゴ　32通り

と数えまくった結果、
２つ目でビンゴ　8通り
　確率は、8÷(8×7)
３つ目でビンゴ　120通り
　確率は、120÷(8×7×6)
４つ目でビンゴ　648通り
　確率は、648÷(8×7×6×5)
５つ目でビンゴ　768通り
　確率は、768÷(8×7×6×5×4)


数字を９つにします。

カード上にない数字「９」が追加されます。
２つ目でビンゴは、当然９が出ない時なので、そのまま8通り
　確率は、8÷(9×8)
３つ目でビンゴは、９が出ないパターンは120通り
　９を挟むパターンは２つ目でビンゴのパターンで、９●●と●９●のそれぞれ２パターン　2×8=16通り
　確率は、136÷(9×8×7)
４つ目でビンゴは、９が出ないパターンは648通り
　９を挟むパターンは３つ目でビンゴのパターンで、３パターン　3×120=360通り
　確率は、1008÷(9×8×7×6)
５つ目でビンゴは、９が出ないパターンは768通り
　９を挟むパターンは４つ目でビンゴのパターンで、４パターン　4×648=2592通り
　確率は、3360÷(9×8×7×6×5)
６つ目でビンゴは、９が出ないパターンはない
　９を挟むパターンは５つ目でビンゴのパターンで、５パターン　5×768=3840通り
　確率は、3840÷(9×8×7×6×5)



数字を１０個にします。

カード上にない数字「Ａ」が追加されます。
２つ目でビンゴは、当然Ａが出ない時なので、そのまま8通り
　確率は、8÷(10×9)
３つ目でビンゴは、Ａが出ないパターンは136通り
　Ａを挟むパターンは２つ目でビンゴのパターンで、２パターン　2×8=16通り
　確率は、152÷(10×9×8)
４つ目でビンゴは、Ａが出ないパターンは1008通り
　Ａを挟むパターンは３つ目でビンゴのパターンで、３パターン　3×136=408通り
　確率は、1416÷(10×9×8×7)
５つ目でビンゴは、Ａが出ないパターンは3360通り
　Ａを挟むパターンは４つ目でビンゴのパターンで、４パターン　4×1008=4032通り
　確率は、7392÷(10×9×8×7×6)
６つ目でビンゴは、Ａが出ないパターンは3840通り
　Ａを挟むパターンは５つ目でビンゴのパターンで、５パターン　5×3360=16800通り
　確率は、20640÷(10×9×8×7×6×5)
７つ目でビンゴは、Ａが出ないパターンはない
　Ａを挟むパターンは６つ目でビンゴのパターンで、６パターン　6×3840=23040通り
　確率は、23040÷(10×9×8×7×6×5×4)


数列にすると
数字がＮ個の時に、m回目でビンゴになるパターン B(N,m)

B(N,1) = 0
B(N,2) = 8
B(N,m) = B(N-1,m) + (m-1)・B(N-1,m-1)

確率は順列のヤツ、NPmで割ればいいんですね。

計算は大変だけど、エクセルにうまく指示できれば計算はやってくれるので、お試しください。

数字が8個の時のビンゴまでの引く数字の数の期待値は3.47回
数字が12個の時は5.01回です。