偏角について

arg(jωL/1-ω^2CL)において()の部分の分母が0のときどうしてarg(jωL/1-ω^2CL)が0になるんでしょうか？教えてください。よろしくお願いします＞＜

No.9 回答者： inu_neko-_- 回答日時： 2011/11/23 01:16

最近知ったんですが、０で割るのはもはや式とは呼べないそうです。

No.8 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/21 19:12

なるほど、lim[ω^2CL→1] arg(jωL/(1-ω^2CL)) じゃなくて

lim[R→∞] arg(jωLR/{R(1－ω^2LC)+jωL}) なら、
1-ω^2CL ≠ 0 のときは = arg(jωL/(1-ω^2CL)),
1-ω^2CL = 0 のときは = lim[R→∞] arg(R) になりますね。
R が実数なら、arg(R) = 0 だから、lim[R→∞] arg(R)) = 0 でもある。
質問の式が違ってるんじゃ、しょうがないな。
カテゴリー違い→物理 ですかね。
数学の質問として答えると、やはり「ならない」でよかったことになる。

No.7 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/11/21 15:27

質問者さんの読んでいる解説が，やや舌足らず　or　荒っぽい(?)のは事実です。

L,C,ωは実数，jは虚数単位です。
物理的には，もともとがLCR並列回路で，その損失が限りなく小さくなる
(並列接続する抵抗Rが無限大になる)極限を考えている。すなわち，
lim[R->無限大]のarg(jωLR/{R(1－ω^2LC)+jωL})を議論している，
と思ってもらうと，純粋数学の人にも話が通じるかしら?

物理や工学系では，数式を計算していて，
0で割るとか，解が一意に求まらないなど数学的に変な現象が起きるとき，
式がまずいのかな，モデル化が荒すぎるのかな，
などと数式の作り方を疑うところへ戻る場合があります。

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/21 14:50

おや？

式の出処が何かは知らないけれど、物理の話であれば、
j が虚数単位で、ω, L, C は実数 ってことですよね？
だとすると、jωL/(1-ω^2CL) は純虚数になるから、
ω, L, C をどう変化させて 1-ω^2CL → 0 にするにせよ、
arg(jωL/(1-ω^2CL)) の極限は、π/2 か -π/2 の
どっちかにしかならないんじゃないの？
何かの値が、1-ω^2CL ≠ 0 のときは arg(jωL/(1-ω^2CL))、
1-ω^2CL = 0 のときは 0 という話が、
端折って arg(jωL/(1-ω^2CL)) → 0 にすり変わってない？

No.5 回答者： info22_ 回答日時： 2011/11/21 12:44

フェザー図（ベクトル図）で考えると良いでしょう。

jωL/(1-ω^2CL)=1/{(1/(jωL))+jωC}
と変形できる。

(1-ω^2CL)の時
「|1/(jωL)|=|ωC|　で大きさが等しく」　かつ　「1/(jωL) と　jωC　は偏角（位相）が-90°と90°で逆（位相）」
なので
「1/(jωL) 」と「jωC」を加えた「(1/(jωL))+jωC」は打ち消しあって
「大きさがゼロ」のフェザー（ベクトル）になります。
ゼロフェザーはフェザー図上では点となって確定しません。逆に、偏角（位相）はどんな値としても影響はありません。
その逆数「1/{(1/(jωL))+jωC}」の物理的意味は
大きさは 「1/0」　つまり無限大、偏角（位相）は不確定となるので、たとえゼロと仮定しても問題ありません（物理的には）。
特定の偏角を与えるとするなら極限をとって考え
(1-ω^2CL)は実数なのでω→1/√(LC)の極限は±0（実数なので偏角は０と考えてよい）なので、ω→1/√(LC)のとき
jωL/{(1/(jωL))+jωC}の大きさは無限大、偏角は±jの偏角「±90°」または{(1/(jωL))+jωC}の偏角の極限にマイナスを付けた「-0°」つまり「0°」とすること考えられます。

なので質問の本題に戻ると
>arg(jωL/1-ω^2CL)において()の部分の分母が0のときどうしてarg(jωL/1-ω^2CL)が0になるんでしょうか？
0°（=0ラジアン）としても物理的には間違いとは言えません。

数学的には 「jωL/0」は０（ゼロ）で割れませんので未定義なので、その偏角も未定義、つまり偏角を考えても意味はありません。

No.4 回答者： noname#171582 回答日時： 2011/11/21 12:10

LC並列回路において

1-ω^2CL＝０のときarg（　　）＝０となり
共振回路となる。

＝０といっても実際の電気回路ではいくらかの成分が存在しており
０で割ったらいけないとか難癖つけるほうがおかしい。

No.3 回答者： FT56F001 回答日時： 2011/11/21 10:50

数式としては0になりません。

数学としては，alice先生のおっしゃるように，0で割る演算が出てくるので計算不能で，値はありません。

ただし，物理としては0とする方が便利，あるいは実態に近いのです。

元の問題はLC並列共振回路のインピーダンスですね。
共振周波数未満では，インピーダンスは誘導性となって，偏角は+π/2，
共振周波数を超えると，インピーダンスは容量性となって，偏角は-π/2になって，不連続に変化します。
ちょうど共振周波数LCω^2=1となるとき，インピーダンスは無限大になります。
LとCが理想的なL素子とC素子の場合，インピーダンスは無限大になり，その偏角は定まりません。
ここまでは純粋に数式から読み取れる話です。

しかし，実際には，Lの巻線抵抗やCの誘電体損失があるため，インピーダンスとしては，
「とても大きいけれども抵抗成分をもつインピーダンス」が現れます。インピーダンスが純抵抗になるため，その偏角は0です。
ちゃんと説明するなら，LCRが並列になった共振回路のインピーダンス
Z=jωLR/{R(1－ω^2LC)+jωL}
を計算します。この場合は，共振周波数付近でωを大きくしていくと，
偏角は，+π/2から0を通って-π/2まで，連続的に変化します。このことを念頭に置いた上で，R→無限大の極限として，「共振周波数での偏角は，便宜的に0」と説明しているのだと思います。

No.2 回答者： hrsmmhr 回答日時： 2011/11/21 10:34

式自体はなんだったか忘れましたが…

遅れ・進み成分が相殺されて０になると力率１(偏角０)で
その式の分母が０になるだけではなかったでしょうか？

ちょっとあてずっぽですが
ご質問は何か勘違いしてますよ

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2011/11/21 09:06

なりません。

分母が 0 だったら、jωL/(1-ω^2CL) の値は定義されないし、
従って arg(jωL/(1-ω^2CL)) の値も定義されない。
「0 で割っちゃいけない」って習いませんでした？