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(問)三枚の硬貨を同時に投げ、裏が出た硬貨を取り除いていく。この操作をすべての硬貨が取り除かれるまで繰り返し、n回目に試行が終わる確率をPnとする。

(1)P1、P2を求めよ。
(2)n回以上操作が続く確率Qnを求めよ。


この問いの(2)がわかりません。(1)を誘導とみなし、Pnを求め、

Qn=1-(P1+P2+P3+・・・+Pn-1)

として、Σを利用して解くと思うのですが、Pnが求まりません。

アプローチの仕方がおかしいのでしょうか。考え方だけでも構わないのでわかる方教えて下さい。

ちなみに、答は

(1)P1=1/8 P2=19/64
(2)Qn=3/2(n-1)乗-3/4(n-1)乗+1/8(n-1)乗

です。お願いします。

gooドクター

A 回答 (2件)

この問題はQnの方が比較的簡単に求められるので、QnからPnを求めようとするものかと思います。



<n回以上操作が続く>は、<(n-1)回以内で操作が終わる>の余事象です。
<(n-1)回以内で操作が終わる>のは、3枚の硬貨を仮に(n-1)回まで投げ続けたとき<硬貨Aが少なくとも1回以上裏を出し>かつ<硬貨Bが少なくとも1回以上裏を出し>かつ<硬貨Bが少なくとも1回以上裏を出す>ことで、「かつ」で結ばれた3つの事象の確率はすべて同じです。
<(n-1)回投げてある特定の硬貨が少なくとも1回以上裏を出す>は、<(n-1)回投げてある特定の硬貨がすべて表を出す>の余事象です。
(n-1)回投げてある特定の硬貨がすべて表を出す>確率は(1/2)^(n-1)ですから、Qnは
Qn=1-{1-(1/2)^n}^3 =3(1/2)^(n-1)-3(1/4)^(n-1)+(1/8)^(n-1)
と求められます。

この方法がもし分かりづらければ、<n回以上操作が続く>事象を次のように分けて考えてもよいと思います。
a) 最初の(n-1)回で3枚の硬貨がともに表しか出さない。
  確率:(1/2)^{3(n-1)}
b) 最初の(n-1)回で1枚の硬貨だけ少なくとも1回以上裏を出し、他の2枚は表しか出さない。
  確率:3×{1-(1/2)^(n-1)}×(1/2)^{2(n-1)}
c) 最初の(n-1)回で2枚の硬貨だけ少なくとも1回以上裏を出し、他の1枚は表しか出さない。
  確率:3×{1-(1/2)^(n-1)}^2×(1/2)^(n-1)
これらの和を整理すればQnが求められます。
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この回答へのお礼

懇切丁寧にありがとうございます。すごいわかりやすかったです。余事象が重なるので複雑ですが、ダイレクトにQnを求めるのですね。

スッキリしました。ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/25 19:03

硬貨が1枚だけだと、n回以上操作が続く確率は、


1/2^(n-1)

硬貨が3枚の場合は、どれか1枚だけでもn回以上操作が続けばいいのだから確率は、
Qn=1-(1-1/2^(n-1))^3
これを展開すれば求める答えになります。
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この回答へのお礼

早速のご回答ありがとうございます。

「どれか1枚だけでもn回以上操作が続けばいい」

このような考え方が全然できませんでした。これさえ気づけば…という感じですが、気づけない時点で未熟でした(><)

ありがとうございます。

お礼日時:2011/11/25 18:57

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