制御工学（電気回路の伝達関数ラプラス変換）について

制御工学（電気回路の伝達関数、ラプラス変換）について質問です。一般的に入力信号は電圧で定義されていますが、電荷量を入力として伝達関数を導出することはできるのでしょうか？

例えば、コンデンサC1をVinと接続し、C1×Vinの電荷をコンデンサC1に溜めます。次にコンデンサC1とVinの接続を切り離し、コンデンサC1とコンデンサC2を抵抗R1を介して接続します。コンデンサC2の電圧をVoutとしたとき、伝達関数はどのように導出できるのでしょうか？

No.3 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/19 22:36

#2です。

失礼しました。質問者さんの方法，正しいです。
Vout={C1/(C1+C2+R1*C1*C2*s)}Vin
となって，Vinにステップ応答を与えると，時定数R1*C1*C2/(C1+C2)の減衰になります。
電荷保存則としてC1*Vin=C1*Vx+C2*Voutの式を使っているので，
VxはC1の放電していく電圧を正しく表しています。

すいません，FTは未経験の解き方なので，失礼なことを申し上げました。

ただし，回路切り替えを含む形でありながら，伝達関数の形に解けているのが何か不思議で，
本来の意味で伝達関数になっているのかな，という疑問は残ります。
すなわち，Vinがステップ電圧波形の場合には確かに意味があるのですが，
その他の波形の場合や周波数応答など，何を意味するのでしょう????


info22_先生あたり，この先，解説いただけないかしら?

この回答へのお礼

＞ただし，回路切り替えを含む形でありながら，伝達関数の形に解けているのが何か不思議で，
本来の意味で伝達関数になっているのかな，という疑問は残ります。
すなわち，Vinがステップ電圧波形の場合には確かに意味があるのですが，
その他の波形の場合や周波数応答など，何を意味するのでしょう????

FT56F001さんのおっしゃる通りです。本来と違う使い方だと思うのですが、正しい解が得られたので、たまたま解が一緒になっただけか、こういう使い方も出来るのかを理論的に知りたくて質問しました。

ただ、電荷保存則としてC1*Vin=C1*Vx+C2*Voutの式で、t>0でVxとVoutの値が変化していくときに、この等式が成り立つためにはt>0でVinは常にVinである必要があるので、それはステップ応答になるのかなと考えています。
（実際には存在しない電圧ですが。。）

このサイトで初めて質問したんですが、回答のリクエストってできるんですかね？
info22_先生にぜひ解説いただきたいです。

お礼日時：2012/01/21 00:51

No.2 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/19 21:48

>上の例題の場合、C1の電圧をVx(t),C2の電圧をVout(t)とおくと、Vx(0)=Vinとなり、

>電荷保存式より、C1×Vin=C1×Vx(t)＋C2×Vout(t)が成り立ちます。
>それと、i(t)={Vx(t)-Vout(t)}/R1、i(t)=｛C2×Vout(t)｝d/dtの式をラプラス変換し、
>Vout(s)/Vin(s)を導出した場合、Vinをステップ応答として逆ラプラス変換してVout(t)を求めると
>微分方程式と同じ解が得られます。

少し違うように思います。この方法では，減衰時定数がR1*C2になってC1と無関係になりませんか?
すなわち，C1が放電していくことが無視されて，Vxを一定の電圧に保った応答波形になっているように思います。
例題は，C1とC2を直列に合成した容量を抵抗R1で放電するので，時定数はR1*C1*C2/(C1+C2)にならないといけません。

本来の例題はC1とC2の切り替え回路(図(a))ですが，
質問者さんのやり方は，R1とC2の回路にステップ電圧を加えた図(b)になっているように思います。

入力をインパルス波形の電流源として，瞬間にC1を充電する回路(図(c))にモデル化すれば，伝達関数で書けます。

この回答へのお礼

＞入力をインパルス波形の電流源として，瞬間にC1を充電する回路(図(c))にモデル化すれば，伝達関数で書けます。

入出力信号は電圧で定義するものと考えていました。。入力信号を電流としても大丈夫なんですね？確かに、電流源インパルスにすれば初期値をうまく表現できそうですね。目からうろこです。

実際に（ｃ）の伝達関数を導出することができました。このとき注意するのは、電流のインパルス入力は、∫it=1=QでQ=CVなので、初期電圧Vは1/Cになるという点ですね。

非常に参考になりました。ありがとうございます。

お礼日時：2012/01/21 00:39

No.1 回答者： FT56F001 回答日時： 2012/01/18 16:45

伝達関数とラプラス変換は微妙に違うので，何をしたいのか，によりますが。

スイッチが切り替わってC1，R1，C2がつながった後の過渡応答は，ラプラス変換で求めることができます。この場合，スイッチが切り替わる直前にC1に溜まっている電荷は，初期値の形でラプラス変換に組み込まれます。

伝達関数にこだわるならば，与える電荷をインパルス電圧に置き換えて，C1を瞬間的に充電してしまい，その後の応答を見る，という伝達関数の使い方はあります。

スイッチの切り替えが周期的に起きるならば，時間連続(S領域)の伝達関数ではなく，離散時間系(サンプル値制御)としてZ変換であつかう手はあります。

この回答へのお礼

素早い回答ありがとうございます。

＞スイッチが切り替わる直前にC1に溜まっている電荷は，初期値の形でラプラス変換に組み込まれます。
＞伝達関数にこだわるならば，与える電荷をインパルス電圧に置き換えて，C1を瞬間的に充電してしまい，その後の応答を見る，という伝達関数の使い方はあります。
←私も最初は初期値なのでインパルスかなと思っていたのですが、Vinをステップ応答と定義したときに微分方程式の解と一致しました。ただ、Vinは初期値であり連続時間の値ではないのでVinをステップ応答として良いのか分かりません。。

以下導出方法です。

上の例題の場合、C1の電圧をVx(t),C2の電圧をVout(t)とおくと、Vx(0)=Vinとなり、
電荷保存式より、C1×Vin=C1×Vx(t)＋C2×Vout(t)が成り立ちます。
それと、i(t)={Vx(t)-Vout(t)}/R1、i(t)=｛C2×Vout(t)｝d/dtの式をラプラス変換し、
Vout(s)/Vin(s)を導出した場合、Vinをステップ応答として逆ラプラス変換してVout(t)を求めると
微分方程式と同じ解が得られます。

お礼日時：2012/01/19 01:23