オイラーの公式の両辺を対数にして・・・

log(e^(ix))=log(cosx+isinx) から ix=log(cosx+isinx)となり、 i=(log(cosx+isinx))/x
が正しいとすると、どんなxでも 右辺は iになるのでしょうか。間違っているとすると、どこが間違っているのでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： eclipse2maven 回答日時： 2012/02/05 14:43

log z は

z=re^(iθ)　としたとき

log r + i θ

です

ただし、θは　mod 2πZ

です。ここが多価関数なるユエンですが、あらかじめ値の範囲を決めておけばいいです。

今の場合　r=1 ですから　log(cosx+isinθ）＝iθ　で、成り立ってます。

この回答へのお礼

勉強したくなりました。ご教示ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/05 16:43

No.1 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/02/05 14:15

>log(e^(ix))=log(cosx+isinx) から ix=log(cosx+isinx)

複素数では対数をナイーブにとることはできません
一般に，複素数の対数は
一価ではなく多価です

整数nに対して
exp(iπ)=exp(i(π+2nπ))
であることを理解しましょう．

同様の落とし穴は複素数のベキにも存在します．
例えばz^{-1/2}は一価ではありません．

この回答への補足

iというものがｘの関数として定義できると考えられるのでしょうか。

補足日時：2012/02/07 16:26

この回答へのお礼

ご教示をもとに勉強させていただきます。ありがとうございました。

お礼日時：2012/02/05 16:42