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最小多項式の求めかたを教えてください

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  • 質問者：kzmsreo
  • 質問日時：
  • 回答数：3件

情報数学 代数数学 離散数学どれにあたるかわかりませんが、行列ではないとおもいます

教科書をよんでもわからないので

いくつか例をあげてやり方を教えてくれませんか？
お願いします

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「情報 数学」に関するQ&A： 基本情報処理　平成27年春期　応用数学

A 回答 (3件)

No.3ベストアンサー

  • 回答者： alice_44
  • 回答日時：

最小(消去)多項式 ですよね。


最小多項式は、特性多項式の約数になるので、
特性多項式を因数分解して、
因数の積で ≡0 になる組み合せを探せばよいです。
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No.2

  • 回答者： info22_
  • 回答日時：

以下の参考URLの最小多項式の定義や求め方の例や問題と解答が載っています。


読んで勉強して下さい。
http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/me …
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …
http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

参考URL：http://www.math.sci.hiroshima-u.ac.jp/algebra/me …
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No.1

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

とりあえず「最小多項式」って何?

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「情報 数学」に関するQ&A： logとln

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Q正方行列の最小多項式の求め方は?

4×4正方行列A
1/2,-1/2,1,1
1/2,-1/2,-1,-1
0,0,3/2,-3/2
0,0,3/2,-3/2
と
正方行列B
0,1,0,0
0,0,2,0
0,0,0,3
0,0,0,0
のそれぞれの最小多項式を求めたく思ってます。
求め方はA-xE,B-xEに基本行列変形を施して対角行列を求めて4行4列成分に現れた多項式がAの最小多項式になるのかと思います。

A
↓
1/2-x,-1/2,1,1
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
1/2-x,-1/2,1,1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,0,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1,0,0,0
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x

と基本行列変形してみたのですがここから先の基本行列変形は分母にxが現れてしまい,どう進めていいのか困ってます。

そしてBについては
B
↓
-x,1,0,0
0,-x,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,-x,0,0
-x,0,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
-x,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x
↓
1,0,0,0
0,-x^2,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x

とやはりここから先に進めません。
どのようにして求めたらいいのでしょうか?

4×4正方行列A
1/2,-1/2,1,1
1/2,-1/2,-1,-1
0,0,3/2,-3/2
0,0,3/2,-3/2
と
正方行列B
0,1,0,0
0,0,2,0
0,0,0,3
0,0,0,0
のそれぞれの最小多項式を求めたく思ってます。
求め方はA-xE,B-xEに基本行列変形を施して対角行列を求めて4行4列成分に現れた多項式がAの最小多項式になるのかと思います。

A
↓
1/2-x,-1/2,1,1
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
1/2-x,-1/2,1,1
0,0,3/2-x,-3/2
0,0,3/2,-3/2-x
↓
1/2,-1/2-x,-1,-1
0,-2x^2,2-2x,2-2x
0,0,3/2...続きを読む

Aベストアンサー

こんばんは。最小多項式を求めるために、いろいろ苦労されて計算されていることが質問から読み取れますが、このまま基本変形を続けても難儀をするだけです。行列式に関する基本的な事柄を忘れているようです。
４次正方行列Ａに関して
1/2,-1/2, 1, 1
1/2,-1/2, -1, -1
0, 0, 3/2,-3/2
0, 0, 3/2,-3/2

A_11 を
1/2,-1/2
1/2,-1/2

A_12 を
1, 1
-1,-1

A_21 を
0,0
0,0

A_22 を
3/2,-3/2
3/2,-3/2

とすると４次の正方行列Ａは４つの2次正方行列

A_11　A_12
A_21　A_22

に区分けされます。このときＡの固有多項式を計算すると　A_21 が零行列ですから、

|A-xE|　=　|A_11 - xE|×|A_22 - xE|　=　x^4

です。よって、Ａの固有値は０で、最小多項式は x^4,x^3,x^2,x のいずれかです。これを調べるために A^3 を計算すると　A^3≠0 ですからAの最小多項式はx^4です。
ちなみにA^3を計算するのに本当にAを3回かけるのではなく、さきほどの4つに区分けした行列を使ってA^3 を計算してください。行列の区分けに関しては線型代数の教科書を読んでください。


次にＢに関してですが、Ｂ-xE は

-x,1,0,0
0,-x,2,0
0,0,-x,3
0,0,0,-x

です。このとき

|B-xE| = x^4

となります。三角行列の行列式は対角行列の掛け算です。これは行列式の基本です。ですから、Ｂの固有値は０で、最小多項式は4,x^3,x^2,x のいずれかです。これを調べるために Ｂ^3 を計算すると　Ｂ^3≠0 ですからＢの最小多項式はx^4です。

こんばんは。最小多項式を求めるために、いろいろ苦労されて計算されていることが質問から読み取れますが、このまま基本変形を続けても難儀をするだけです。行列式に関する基本的な事柄を忘れているようです。
４次正方行列Ａに関して
1/2,-1/2, 1, 1
1/2,-1/2, -1, -1
0, 0, 3/2,-3/2
0, 0, 3/2,-3/2

A_11 を
1/2,-1/2
1/2,-1/2

A_12 を
1, 1
-1,-1

A_21 を
0,0
0,0

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3/2,-3/2
3/2,-3/2

とすると４次の正方行列Ａは４つの2次正方行列

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A_21...続きを読む

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Q行列の正定・半正定・負定

行列の正定・半正定・負定について自分なりに調べてみたのですが、
イマイチ良くわかりません。。。
どなたか上手く説明していただけないでしょうか？
過去の質問の回答に

>ｃを列ベクトル、Aを行列とする。
>（cの転置）Aｃ＞0
>となればAは正定値といいます。
>Aの固有値が全て正であることとも同値です。

とあったのですが、このcの列ベクトルというのは
任意なのでしょうか？
また、半正定は固有値に＋と－が交じっていて、
負定は固有値が－のみなのですか？

どなたかお願いしますorz

Aベストアンサー

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義　ｎ次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』ｎ次元（列）ベクトル c に対して、
（cの転置）Aｃ＞0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
（ｃとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。）
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列ではないAの固有値がすべて正だからといって、
（cの転置）Aｃ＞0とは限りません。
例えば、
A　＝
[ 1 4 ]
[ 0 1 ]
とすると、Aは対称行列ではなく、固有値は１です。
しかし、
（cの転置） = [ 1, -2]
とすると、
（cの転置）Aｃ = -3 < 0
となってしまいます。（実際に計算して確かめてください。）
なので、行列Aが対称行列であるという条件はとても重要です。

また、半正定値の定義は、上の定義で
『ゼロベクトルではない任意の』　--> 『任意の』
と書き直したものです。
このとき、半正定値行列の固有値はすべて０以上です。（つまり０も許します。）
逆に、対称行列の固有値がすべて０以上なら、その行列は半正定値です。

さらに、負定値の定義は、『ゼロではない任意の』ベクトルｃに対して
（cの転置）Aｃ＜0
となることです。
固有値についてはもうわかりますね。

まず、行列の正定・半正定・負定値性を考えるときは、
行列は対称行列であることを仮定しています。
なので、正確な定義は、

定義　ｎ次正方 "対称" 行列 A が正定値行列であるとは、
『ゼロベクトルではない任意の』ｎ次元（列）ベクトル c に対して、
（cの転置）Aｃ＞0
となることである。

です。

対称行列Aが正定値なら、その固有値はすべて正です。
（ｃとして固有ベクトルをとってみればよいでしょう。）
逆に、対称行列Aの固有値がすべて正なら、Aは正定値行列です。

ただし、対称行列...続きを読む

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Qジョルダン標準形への変換行列の求め方について

この画像の問題の（2）のジョルダン標準形への変換行列Tの求め方なのですが、
定石どおりにλ=1-αが重根のため[A-(1-α)E]t=aとなる列ベクトルtを求めようとしましたが
t=c1[1 0 0]+c2[0 1 0]となってしまい求めることができませんでした。
次にジョルダン標準形Jは決定するためこれからTJ=ATより求めようとしたところ
これでも第1行目が決定せず求めることができませんでした。

回答を見ましたところTJ=JTよりTを決定していました。
回答は少し見にくいですがT=[a;(-3/4) (1) (0);b]となっておりました。

この求め方の意味がわからないのでどなたか教えていただけないでしょうか…
また私がやった定石どおりの方法でこの問題は解くことはできませんか？

どなたかよろしくお願いいたします。

Aベストアンサー

とりあえず問題の T は忘れてふつうに
J = P^(-1)AP
の P を求めようとするなら, あなたのやった通りでできますよ.

まず 1-α に対する固有ベクトル [1, 0, 0] と -2 に対する固有ベクトル (略) はあってる. んで 1-α に対して一般化固有ベクトルがもう 1本あって, それは
[A-(1-α)E] x = [1, 0, 0]
の解として
x = [c, 1, 0]
が出てくる. これで合計 3本の (一般化) 固有ベクトルが得られたので, これをふつうに並べれば P になる.

と, #3 に書いてある.

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Qジョルダン標準形の作り方

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」ので、
つまり、固有空間の次元数=dim(A-λE)=n-rank(A-λE)=ジョルダン細胞数なので、
λ=3の時、
rank(A-3E)=2
dim(A-3E)=3-2=1
λ=1に対して、ジョルダン細胞1つ。

λ=1について
rank(A-E)=2
dim(A-E)=3-2=1
よってλ=1に対して、
ジョルダン細胞1つ。

(3)次にジョルダン細胞の次数を求める。
(A-3E)(A-E)≠0
(A-3E)(A-E)^2=0
より、最小多項式は
(λ-3)(λ-1)^2なので、
λ=3のジョルダン細胞の次数は1
λ=1のジョルダン細胞の次数は2

よってJ=J(3,1)➕J(1,2)
(➕は、＋の丸囲み)
J=
[3 0 0]
[0 1 1]
[0 0 1]

一応、答えは出ました。これで間違いないですか？
しかし、私のやり方では、(3)でわざわざ、
(A-3E)(A-E)^2を計算しなくてはいけません。
これがけっこう面倒です。

そうではなく、最小多項式を求めなくてもいいやり方を教えてほしいのです。

固有ベクトルを求めずに、固有値だけでジョルダン標準形を求めるやり方を教えて下さい。
自分のやり方の間違っている点や不十分なところを指摘して下さい。

例題
A=
[2 0 -1]
[-2 3 2 ]
[1 0 0]
のジョルダン標準形を求めなさい。

解法
(1)固有多項式で固有値を求める。
固有多項式Ψ(λ)=(λ-3)(λ-1)^2
λ=1(重解)、3

(2)それぞれの固有値におけるジョルダン細胞の個数を求める。
「1つの固有値に対する互いに独立な固有ベクトルの本数(固有空間の次元数)は、その固有値に対するジョルダン細胞の個数に等しい」の...続きを読む

Aベストアンサー

(2)の時点で、J=J(3,1)+J(1,2) と判明しているね。
今回、最小多項式は求める必要が無いし、
A のジョルダン標準形の内容によっては、
固有多項式と最小多項式を求めただけでは
ジョルダン胞の構成は決定できない。

固有方程式の n 重根 λ については、
k = 1,2,…,n 各次の一般固有空間 W_k = { x | (A-λE)^k x = 0 }
の次元を全て求めれば、ジョルダン標準形が決まる。
W_k の次元が、k 次以上のジョルダン胞の個数になっているから。
(もちろん、今回のように、一部省略できる場合もある。)

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Qジョルダン標準形ってなんのため？

線形代数の本を読んでいると、後ろのほうにジョルダン標準形がでてきます。
書いてあることをなぞることはなんとかできるのですが、固有値の次にいきなり前触れもなく現れるので、これが
・どういう（歴史的）要請・経由で
・何のために
現れたのかがわかりません。

ジョルダン標準形の本質は何でしょうか？

Aベストアンサー

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子（あるいは行列子因子）による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
ｘ（ｔ）を要素がｔの関数の列ベクトルとし
Ａを要素が定数の正方行列とし
ｖ（ｔ）を要素がｔの関数の列ベクトルとし
ｘ’（ｔ）＝Ａ・ｘ（ｔ）＋ｖ（ｔ）としたときに
正則行列ＰによってＰ＾（－１）・Ａ・Ｐが対角行列になるならば
ｘ（ｔ）を簡単に求めることができます
しかし正則行列ＰによってＰ＾（－１）・Ａ・Ｐが対角行列にならなくても
正則行列ＰによってＰ＾（－１）・Ａ・Ｐがジョルダンの標準形になれば
少し複雑になりますが簡単にｘ（ｔ）を求めることができます
本質が何打という質問は何回で答えることができる人はいないのでは？

ジョルダンは線形代数の最終関門でこの証明を一度は理解していたほうがいいでしょう
証明は灯台出版から単行本が出ていて何種類か乗っています
私は単因子（あるいは行列子因子）による方法を一度は理解しましたが忘れました
でも必要があれば読み返せばすぐに思い出せるようにはなっています
定理は簡単なのですが重要です
制御理論で使います
ジョルダンの標準形は正則行列で対角化できない行列を準対角行列に分解するものです
ｘ（ｔ）を要素がｔの関数の列ベクトルとし
Ａを要素が定数の正方行列とし
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QKer（核）やIm（像）の意味がわからない。

Aはm×n行列、xはn次ベクトル、bはm次ベクトル
このとき
KerA={x∈Rn|Ax=0}
ImA={Ax∈Rm|x∈Rn}と定義する。
※Rn,Rmのn,mはRの右肩にあります。

この定義のいみがよくわかりません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連立一次方程式が問題なく解ける場合
（解が一通りしかない場合）もありますが、解がない場合だって
ありますよね？　これも、Ａの中身によります。
そこで、ｘをいろいろ変えてみて、でてくるｂを
すべて集めてできた集合を、Im(A)とかきます。

なれないうちは、
Ker(A)は、連立方程式Ａｘ＝０の解ｘの集合、
Im(A)は、Ａｘ＝ｂが解ける場合のｂの集合
とでも理解しておけばいかがですか？
本当は、方程式ではなくて、ベクトル空間の概念ですけども。

ベクトルｘは、
　　ｂ＝Ａｘ
という対応によって、別のベクトルｂにうつされます。
このとき、ｂ＝０になるのはどんな場合かを考えてみます。
ｘ＝０の場合は、ｂ＝０です。
しかし、Ａの中身によっては、ｘ≠０なのに、ｂ＝０
になる場合があるでしょう？
ｂ＝０になるような、ｘをすべて集めた集合を考え、
その集合をKer(A)と書いているのです。

こんどは、Ｉｍのほうですが、ｂを好き勝手に決めたとして、
　ｂ＝Ａｘ
となるような、ｘがいつでもきめられるでしょうか？
どんなｂに対しても、連...続きを読む

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Q最小多項式

ＧＦ（２＾４）の原始元αの最小多項式m1(x)=x^4+x+1とする。
m1(α)＝０から、ＧＦ（２＾４）の元をαのべき表現で表示できました。
ここで、すべての元において最小多項式を求めたいのですが。
講義ノートによると「最小多項式とは、その元を根とする次数最小の多項式」と書いてありました。
そうならば、α＾３の最小多項式は（ｘ－α＾３）のはず、しかし、
ここで、α＾６とα＾１２を導入し、α＾３の最小多項式が
ｍ3（ｘ）＝（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２）
となるらしいです。また、一般的にＡをｆ（ｘ）＝０の根とすると、Ａ＾｛２*i｝もまた、ｆ（ｘ）＝０の根であることは知っているのですが、
なぜ最高次数を３にする必要があったのでしょうか？
最高次数が３以外じゃだめなんですか。例えば（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）のように。
また、数の候補としてはα＾３、α＾６、α＾１２だけでなく、α＾１８、α＾２４、、、、、、、
膨大に候補があがると思います。α＾３の最小多項式を考えていますが、
ほぼ無限に候補があがるため、これで、すべての元をあらわしてしまいそうなんですが…
こうなると、もはやα＾３のペアとして、α＾６とα＾１２のみならず、
どんな元でもよいと言うことにならないのでしょうか？
もし、ならないのであれば任意の元をかんがえて最小多項式を作ろうとしても、
このような事態は起きないのか？
わからないので是非教えてください。お願いします。

ＧＦ（２＾４）の原始元αの最小多項式m1(x)=x^4+x+1とする。
m1(α)＝０から、ＧＦ（２＾４）の元をαのべき表現で表示できました。
ここで、すべての元において最小多項式を求めたいのですが。
講義ノートによると「最小多項式とは、その元を根とする次数最小の多項式」と書いてありました。
そうならば、α＾３の最小多項式は（ｘ－α＾３）のはず、しかし、
ここで、α＾６とα＾１２を導入し、α＾３の最小多項式が
ｍ3（ｘ）＝（ｘ－α＾３）（ｘ－α＾６）（ｘ－α＾１２）
となるらしいです。また、一般的にＡをｆ（...続きを読む

Aベストアンサー

nを2以上整数としてGF(2^n)上の元αの最小多項式：
GF(2)上の元を係数とする多項式f(x)のうちf(α)=0となる次数最小のもの

f(x)をGF(2)上の元を係数とする多項式としたとき明らかに
(f(x))^2=f(x^2)
であるからもしαをGF(2^n)の元としたときf(α)=0ならば
f(α)=0,f(α^2)=0,f(α^4)=0,…,f(α^(2^k)=0,…

以下問題に戻る
GF(2)上の多項式f(x)をα^3の最小多項式とすると
f(α^3)=0,f(α^6)=0,f(α^12)=0,f(α^24=α^9)=0,f(α^48=α^3)=0
だから
f(x)はα^3,α^6,α^12,α^9を根に持つ
f(x)=(x-α^3)・(x-α^6)・(x-α^12)・(x-α^9)=x^4+x^3+x^2+x+1

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Q固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

固有値が複素数のときの固有ベクトルの求め方

( -7 -5 )
( 13 9 )

の2x2行列で固有値を求めると 1±2i になると思いますが

Av = λv の形で固有ベクトルを求めようとすると

( -8 + 2i ) x - 5 y = 0
13 x + ( 8 + 2i ) y = 0

の形になり、その先を求めることが出来ません。
何度も計算したので最後の2つの式は間違いは無いと思うのですが、
固有値が複素数の時は、Av = λv の方法で計算することは出来ないということでしょうか？
またどのように計算できるのでしょうか？
お知恵をお貸しいただければ幸いです。

Aベストアンサー

固有値は1±iになるかと…

そこから先の計算は普通に実数の時と同じ方法で計算できます．

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Q固有値と固有ベクトル・重解を解に持つ場合の解法

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくてこまってます。）

固有値λ1=λ2=-1より、求めるベクトルをx=t[x1,x2]とすると
A=
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
よって
2x1-x2 = 0
4x1-2x2 = 0
この二つは同一方程式より、x1 = 2x2
任意の定数αをもちいてx1 = αとすれば、
x = αt[1,2]

しかし、答えには、
x1 = αt[1,2]
x2 = βt[1,2] + αt[0,-1]

とありました。なぜなでしょう？
参考にしたページなんかを載せてくれるとありがたいです。

ちなみにこんな問題もありました。
A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|

これは固有値がすべて１になる場合です。
これも解法がのってませんでした。

以前質問させていただいたのですが、教科書に固有値が重解の場合の固有ベクトルを求める解法が省かれていて理解できませんでした。
問題はこんな感じです。
2×2行列式A
Ａ=
|1 -1|
|4 -3|
の固有値と固有ベクトルを求めよ。
（自分の解法）
まず
与式＝
|1-t -1|
|4 -3-t|
サラスの方法で展開し、
(1-t)(-3-t) - (-1)・4
=t^2 + 2t 1
=(t+1)^2
となるので固有値をλ1,λ2として、
λ1=-1,λ2=-1
（ここまではできたのですが、解が重解になってしまいました。固有ベクトルを求める方法ができなくて...続きを読む

Aベストアンサー

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
n次の正方行列を相手にしてる場合は
n=dim(Im(A-λI))+dim(Ker(A-λI))
=rank(A-λI) + dim(Ker(A-λI))
だから
固有空間の次元
= dim(Ker(A-λI))
= n - rank(A-λI)

したがって，
A=
|1 -1|
|4 -3|
のとき，λ=-1とすれば
A-λI= <<<--- 質問者はここを書き間違えている
|1-(-1) -1 |
|4 -3-(-1)|
=
|2 -1|
|4 -2|
だから，rank(A-λI)=1
よって，固有空間は1次元
だから，本質的に(1,2)以外に固有ベクトルはないのです．
(0,-1)が固有ベクトルではないことは容易に確認できます．

A=
|0 0 1|
|0 1 0|
|-1 3 2|
の場合も同様．A-λIのランクを計算すれば2だから
固有空間の次元は1で，計算すれば(1,0,1)を固有ベクトルと
すればよいことが分かります．

重解であろうがどうであろうが，求める方法は同じだから
わざわざ取り上げることはないという話でしょう．

No.1さんと同様，記号の混乱があるので
「参考書」やらが間違ってるのか，質問者の転記ミスなどかは
分かりませんが，
＞とありました。なぜなでしょう？
答えを確かめましたか？
本当にその「解答」があってますか？
大学の数学の本なんて結構間違い多いですよ．

ちなみに・・・λが固有値のとき
(A-λI)x = 0 の解空間が固有空間です．
これは線型写像 A-λI のカーネル Ker(A-λI) だから
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Q像と核の基底と次元を求める問題がわかりません。

ｆ（ｘ、ｙ）＝（ｘ－２ｙ、２ｘ＋ｙ、３ｘ－ｙ）
という問題です。
基本変形をして

｜１　－２｜　　 ｜１ －２｜
｜２　　１ ｜→　｜０　　５｜
｜３　－１｜　　 ｜０　　５｜

となりＩｍｆ＝＜ｔ（1,2,3)> 次元＝１
であってるか分かりませんが、Ｋｅｒｆが分からないので求めてください。

Aベストアンサー

質問文中で、階段化はできていますよね？
これを見れば、表現行列の rank は 2
であることが判ります。

像の次元は、rank と等しいので、2。
行列の列数が 2 で、次元と同じですから、
像の基底は、列を取り出して並べるだけ。
何も考える必要がありません。

核の次元は、行列の行数-rank なので、1。
一次元だから、核の基底は、行列を掛けて零
になる列ベクトルを一つ求めればよく、
それらが一次独立かどうかを気にせず済みます。
単に、連立一次方程式を解くだけです。

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