積分、逆三角関数の問いについて教えてください。

大学の微積の問題に困ってます。お願いします。
次の(４)(５)はどうといたらよいでしょうか？よろしくお願いします。
(1)x/1＋ｘ⁴を部分分数に展開せよ。
(2)ｘ²＋１∓√2ｘを平方完成せよ。
(3)(2)を利用して、(1)の式を積分せよ
(４)tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹{１/(１＋x√2)}の値を出せ。
(５)tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＋tan⁻¹(－１＋x√2)＋C＝tan⁻¹(x²)
と書ける。その理由と定数Cを決定せよ。
　　　　自分の解答
(１)～(３)はx/1＋ｘ⁴={1/(2√2)}{1/(x^2 + 1 - (√2)x) - 1/(x^2 + 1 + (√2)x)}
として、(２)を使い、
　∫x/1＋ｘ⁴dx=1/2{－tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹(－１＋x√2)}＋A　　(Aは積分定数)
という形で、(３)の答えが出ました。
　(4)はtan⁻¹(１＋x√2)＝α、tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＝βと置く。
　tanαtanβ=1より、

　ｓｉｎαｓｉｎβ／cosαｃｏｓβ＝１

　⇔cosαｃｏｓβ-ｓｉｎαｓｉｎβ=0

⇔cos<α+β>=0

⇔α+β=(π/2)×ｎ　(ｎは自然数)・・答

となりました。
　(５)は、ｃ＝０と計算上、出ました。しかし、とても煩雑な計算でした。筋の良い計算方法はありますでしょうか？また、(５)と書ける理由がわかりません。x²が平方完成したときに出てきたり、tan⁻¹{１/(１＋x√2)}＋tan⁻¹(－１＋x√2)は(４)と似ていますが、何から由来して、(５)のようにかけるのでしょうか？
　(４)(５)の解答、不明点について、教えてください。

　
　よろしくお願いします。　　

No.3 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/02/28 21:12

(４)

tan^-1(1+x√2)+tan^-1{1/(1+x√2)}
=tan^-1(1+x√2)+cot^-1(1+x√2)
=π/2

(５)
Φ=tan^-1{1/(1+x√2)}＋tan^-1(-1+x√2)

公式tan^-1(1/A)=(π/2)-tan^-1(A)より

Φ=(π/2)-tan^-1(1+x√2)+tan^-1(-1+x√2)
=(π/2)-{tan^-1(1+x√2)-tan^-1(-1+x√2)}

公式tan(A-B)=(tanA-tanB)/(1+tanAtanB)を適用して

Φ=(π/2)-tan^-1[{(1+x√2)-(-1+x√2)}/{1+(1+x√2)(-1+x√2)}]
=(π/2)-tan^-1{2/(1-1+2x^2)}
=(π/2)-tan^-1{1/x^2}

公式tan^-1(A)=(π/2)-tan^-1(1/A)より

=tan^-1(x^2)

従って　定数C=0　です。

No.4 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/29 23:07

(1) を積分して (3), (4) を使えば (5) の定数を除いた部分が出てくる.

あと, この (5) の「定数」は x に依存してしまうので, x の範囲を決めておかないと「定数」とはいいきれない. 例えば x=0, x=1, x=-1 を代入してみればわかると思うよ.

このことは (4) に由来するんだけどね.

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/02/28 17:29

(４)tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹{１/(１＋x√2)}の値を出せ。

tan⁻¹(１＋x√2)=y1
tany1=(１＋x√2)
tan⁻¹{１/(１＋x√2)}=y2
tany2=1/(１＋x√2)=1/tany1
1=tany1*tany2=siny1*siny2/(cosy1*cosy2)
={(cosy1*cosy2)-cos(y1+y2)}/(cosy1*cosy2)
=1-cos(y1+y2)/(cosy1*cosy2)
cos(y1+y2)=0
よってy1+y2=tan⁻¹(１＋x√2)＋tan⁻¹{１/(１＋x√2)}
=cos-1(0)

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/02/28 16:16

(5) だけ:

「x²が平方完成したときに出てきたり」って, どういう意味?

その「とても煩雑な計算」とやらを, 「あなたが」どうやってのか見せてほしい. まさか
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7304777.html
の #3 をそのままコピーしたなんてことはしてないよね?

この回答への補足

<5>のように書ける理由はどういう理由なのでしょうか？
ご教授願います

補足日時：2012/02/29 13:53