複素平面上の写像について

複素平面上の写像について

複素平面(z平面)上の領域 z:0<argz<π/4 が
写像f(z)によって複素平面上のどのような領域に写されるか．

f(z)=z/(z-1)

よろしくお願いします.

No.2 ベストアンサー 回答者： info22_ 回答日時： 2012/03/29 21:31

z=x+iy（x,yは実数）とおくと領域 z:0<argz<π/4 はxy座標では

　0<y<x　...(A)

f(x+iy)=u+iv=(x+iy)/(x-1+iy)
この関係からu,vをx,yで表すと
　x=((u-1/2)^2+v^2-1/4)/((u-1)^2+v^2)
　y=-v/((u-1)^2+v^2)
(A)に代入してz=x+iyの領域を求めると良い。
　0<-v<(u-1/2)^2+v^2-1/4
　∴v<0, (u-1/2)^2+(v+1/2)^2>1/2

f(z)=u+ivの存在領域を斜線部（境界は含まず）として図示して示しました。

No.1 回答者： 151A48 回答日時： 2012/03/29 20:55

f(z)=1+ 1/(z-1) と変形できるので、まずw=1/zで写し、それを実軸、虚軸方向にそれぞれ１平行移動する、と考えたらどうでしょう。