3x3行列Aについて Ax=0の解とA^n

学校の課題についての質問なのですが。
A=
（a， 1， 0）
（0， a-1， 0 )
（ 0， 1， a）
について
(1)xに関する連立方程式Ax=0の解を求めよ。
(2) A^n　を求めよ。

という問題の解き方が分かりません。
出来れば詳細な解法を教えてくださると助かります。
力になってくださる方がいてくださればお願いいたします。

No.1 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/04/29 15:01

(1)

A=
(a,1,0)
(0,a-1,0)
(0,1,a)
x=t(x1,x2,x3)
とする
|A|=(a-1)a^2
a=0のとき
Ax=
(0,1 ,0)(x1)
(0,-1,0)(x2)
(0,1 ,0)(x3)
=Ax=t(x2,-x2,x2)=0
∴a=0のとき解は平面
x2=0
x=t(x1,0,x3)
(ただしx1,x3は任意実数でtは転置)

a=1のとき
Ax=
(1,1,0)(x1)
(0,0,0)(x2)
(0,1,1)(x3)
=Ax=t(x1+x2,0,x2+x3)=0
x1+x2=0
x2+x3=0
∴a=1のとき解は直線
x=(x2)t(-1,1,-1)
(ただしx2は任意実数でtは転置)

a≠0&a≠1のとき
|A|≠0だからA^{-1}が存在するから
Ax=0
x=A^{-1}Ax=0
∴a≠0&a≠1のとき解は点
x=0

(2)
L=
(1,1,0)
(0,1,0)
(0,1,1)

H=
(a,0,0)
(0,a-1,0)
(0,0,a)
とすると
A=L^{-1}HL
だから
A^n
=(L^{-1}HL)^n
=L^{-1}(H^n)L
=
(1,-1,0)(a^n, 0 ,0)(1,1,0)
(0,1 ,0)(0,(a-1)^n,0)(0,1,0)
(0,-1,1)(0, 0 ,a^n)(0,1,1)
=
(a^n,a^n-(a-1)^n,0)
(0 ,(a-1)^n ,0)
(0,a^n-(a-1)^n,a^n)

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど綺麗に出来てますね・・・。
(2)についてPAP^(-1)の形をn乗する方法も考えたのですが
Pをうまく決定することができずできませんでした。
今回の回答ではLとHを用いているようですが，
これらの行列はどのようにして決定しているのでしょうか？
また，似たような問題において
このような行列を決定するコツなどはありますか？
教えてくださると助かります。

お礼日時：2012/04/29 18:33

No.2 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2012/05/01 04:01

(1)

a=0のとき解は平面
{x=(x1)t(1,0,0)+(x3)t(0,0,1)|{x1,x3}⊂R}
a=1のとき解は直線
{x=(x2)t(-1,1,-1)|x2∈R}
a≠0&a≠1のとき解は点
x=0

(2)
Aの固有方程式は
f(t)=
|a-t,1,0|
|0,a-1-t,0|
|0,1,a-t|
=(a-1-t)(a-t)^2=0
だから
Aの固有値は
a,a-1
となりaは重根だから
Aの対角化行列は
固有値を対角に並べ
H=
(a,0,0)
(0,a-1,0)
(0,0,a)
とできる

固有値
a
に対する固有ベクトルを
x
とすると
Ax=ax
a=0のとき
Ax=0だから(1)から
固有基底ベクトルは
t(1,0,0),t(0,0,1)となる

固有値
a-1
に対する固有ベクトルを
x
とすると
Ax=(a-1)x
a=1のとき
Ax=0だから(1)から
固有基底ベクトルは
t(-1,1,-1)となる

1列目に固有値aに対する固有ベクトルt(1,0,0)
2列目に固有値a-1に対する固有ベクトルt(-1,1,-1)
3列目に固有値aに対する固有ベクトルt(0,0,1)
とした行列を
P=
(1,-1,0)
(0, 1,0)
(0,-1,1)
とすると
AP=PH=
(a,1-a,0)
(0,a-1,0)
(0,1-a,a)

P^{-1}=
(1,1,0)
(0,1,0)
(0,1,1)

A=PHP^{-1}
だから
A^n
=(PHP^{-1})^n
=P(H^n)P^{-1}
=
(1,-1,0)(a^n, 0 ,0)(1,1,0)
(0,1 ,0)(0,(a-1)^n,0)(0,1,0)
(0,-1,1)(0, 0 ,a^n)(0,1,1)
=
(a^n,a^n-(a-1)^n,0)
(0 ,(a-1)^n ,0)
(0,a^n-(a-1)^n,a^n)

この回答へのお礼

なるほどそのように固有値を設定するのですね
色々混乱して求めることができませんでしたが
改めて回答を参考にして計算しましたところ
答えまで辿り着けました。
最後まで丁寧な回答ありがとうございました！

お礼日時：2012/05/01 20:28