大学の微分積分

中間値の定理を証明せよ。

宜しくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/13 11:54

＞教科書じゃ難しくて理解できませんでした。

すなおに学校で先生に聞きましょう

中間値の定理ってのは
実数の連続性のどれを使うか，
関数の連続性の定義や性質のどれを使うかで
いろいろなパターンの証明があるんだけど・・・
オーソドックスな「上限の存在」の証明をしてみようか

中間値の定理
区間[a,b]で連続な関数fが存在する
このときf(a)とf(b)の間の数y（f(a)<=y<=f(b)またはf(b)<=y<=f(a)）に対して
y=f(x)をみたす[a,b]の要素xが存在する

証明
f(a)=f(b)の場合は自明である（y=f(a)=f(b)であるので）.
また，y=f(a)またはy=f(b)の場合も自明である．
したがって，f(a)<y<f(b)としても一般性を失わない（f(a)>y>f(b)の証明も同様だから）

集合Aを A={ s∈[a,b] | f(s)<y} と定める．
f(a)<y であるので A は空集合ではない．
また，Aは[a,b]の部分集合なので上に有界である．
したがって，上限の存在より A には上限 x が存在する．

xはAの上限であるので，
Aの点列で x に収束するものが存在するのでそれを{x_n}とすると
Aの定義より f(x_n)<y である
x_n->x でありfは連続なので f(x_n)はf(x)に収束し，f(x)<=y である．

つぎに，(x,b]の任意の点tをとる．
f(t)<y であるとすると，tはAの点であり，なおかつ x<t である．
ところが，xはAの上限であるので，x<t であるのは矛盾である．
したがって，f(t)>=yである．
よって，x+(1/n)のような点列をとれば f(x+(1/n))>=yであり
n->∞とすれば，x+(1/n)->x であり，fの連続性より
f(x+(1/n))はf(x)に収束し，f(x+(1/n))>=yより
f(x)=lim(x+(1/n)) >= y

よって f(x)<=yおよびf(x)>=yが示されたので f(x)=y

証明終

f(a)>y>f(b)の証明は，

A={ s∈[a,b] | f(s)>y}
f(b)>yよりAは空ではない．
Aの下限をxとする．
不等号の向き・上限下限の言い換えに注意する．

といったあたりに気をつければよい．

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2012/05/12 17:11

教科書に必ず出ています。

この回答への補足

教科書じゃ難しくて理解できませんでした。

宜しくお願いします。

補足日時：2012/05/12 22:17