実数について

（１）任意の実数αは有限または無限小数で表せることを証明せよ。
（２）任意の実数αはある単調増加な有利数列の極限となることを示せ。
という問題なんですがまったくどうやって手をつけていいのかがわかりません。わかる方おしえてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： noname#24477 回答日時： 2004/06/28 18:55

実数は数直線と対応が付きますので、それでイメージ

すると良いかと思います。

数直線上に勝手な点を取ったとします。
整数の目盛りを打ちます。
点はどこかに入っています。ちょうど目盛り上なら
それで終わりです。
間にくれば（例えば１と２の間）１．・・・
また目盛りを１０等分すると点はどこかに入ります。
５番目なら１．４・・・
これを繰り返します。途中で目盛り上にくれば有限。
続くなら無限。
どんどん目盛りを細かくすることが出来ます。

上記のように作れば、（２）も成り立つことは明らかでしょう。

この回答へのお礼

分かりやすい解答ありがとうございました。

お礼日時：2004/06/29 01:08

No.1 回答者： proto 回答日時： 2004/06/28 17:21

任意の実数αの小数点以下n桁を切り捨てて出来る有理数の列をa_nとすると

すべての自然数nについて
　　a_(n+1)>a_n
また
　　|α-a_n|＜10^(-(n-1))

　　lim[n→∞]10^(-(n-1))=0
より
任意のε(>0)に対してある自然数Nが存在して
　　n≧N　⇒　|α-a_n|＜10^(-(n-1))＜ε
以上より
　　lim[n→∞]a_n=α

と、とりあえず(2)のほうは、こんな感じで数列を定義すれば証明できるはずです

この回答へのお礼

分かりやすい解答ありがとうございました。

お礼日時：2004/06/29 01:09