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実数x、yがx^2+xy+y^2=1を満たすとき

(1)x+y=u、xy=vとする。
 u、vの満たす関係式を求めよ。
 また、uの最大値と最小値は?

(2)x^2+y^2の最大値と最小値は?

数学の得意な方、よろしくお願いします!

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A 回答 (3件)

(1)x^2+xy+y^2=1より



(x+y)^2-xy=1

すなわち

u^2-v=1 (1)

x,yが実数のためにx,yを解とする2次方程式

t^2-ut+v=0

が実数解をもつことが必要であり、そのためには判別式

D=u^2-4v≧0    (2)

(1)、(2)がu、vの満たす関係式。


u-v平面に(1),(2)を図示する。(じぶんでやること)

(2)の等号の式と(1)の交点としてu,vの範囲が出る。


v=u^2-1の

-2/√3≦u≦2/√3   (3)

の範囲がu,vの動く範囲であり、

uの最大値は2/√3、最小値は-2/√3

(2)x^2+y^2=zの範囲を求める。

x^2+xy+y^2=1より

z=x^2+y^2=1-xy=1-v

(1)の(2)の範囲におけるvの値は

u=2/√3、-2/√3において v=1/3(最大値)

u=0でv=-1(最小値)

よって

z=x^2+y^2=1-xy=1-vの

最大値は2(v=-1)

最小値は2/3(v=1/3)
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数学カテゴリで【数学】と書かれましても内容が分かりません。

次回からは内容を表題にしてください。
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この問題について、貴方自身が何を試みたのかを明確に!

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