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不定方程式2x+3y+z=10を満たす自然数の組xyzをすべて求めよ

という問題で、解答が

yについて整理すると3y=10-2x-z
x≧1、z≧1なら
3y=10-2x-z≦10-2×1-1=7
…でした。

なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか?

A 回答 (5件)

> なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか?


引けば引くほど式の値は小さくなります。
式の最大値は、引く値が最小(1を当てはめた)の場合ですよね。
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> なぜ、1を当てはめた10-2×1-1が10-2x-zよりも大きいのでしょうか?



3y=10-2x-z=10-(2x+z) ですから、x≧1、z≧1 の条件下では
x=1, z=1 の時に 10-(2x+z) の値が最大なりますね。
ですから、3y≦7 となります。
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解説でどのようにその式が書かれていたのかわからないのですが、


「最小の自然数である1をxとzに代入しても3yは7以下だ」ということを意味したいものと思います。
3y≦7が条件となりy=1または2となって、あとはy=1の場合とy=2の場合でxとzの組み合わせを求めるのではないでしょうか?

個人的には、そのような面倒な表現をしなくても、
2x+z≧3なので、3y≦7
くらいの表現でも十分ではと思います。
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a≦b かつ c≦d  ならば  a+c≦b+d  ・・・・・ ①



a≦b  ならば  a+c≦b+c  ・・・・・ ②


これらの性質を使えば、

x≧1,y≧1 のとき

-2x≦-2,-y≦-1 だから

辺々加えて

(-2x)+(-y)≦(-2)+(-1)  ⇐ ①

両辺に 10 を加えて

10+(-2x)+(-y)≦10+(-2)+(-1)  ⇐ ②

10-2x-y≦10-2-1

が成り立つ
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前提はx.y.z.すべて自然数ということを頭に置いておきます。


まず、整理した式は3y=10-2x-zなので、x.z.が大きくなるほどに3y.すなわちyは小さくなっていきます。というわけで、最も小さい自然数1を入れたとき、最大値をとる。という意味で、<=なんだと思います。もちろん<=なので、同じ場合もあり得ます。長くなってすみません。
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Q高校1年生です。数Aの問題教えてください!

場合の数と確率という単元で、
重複を許してとる組み合わせについての問題だと思います。

(1)等式x+y+z=10を満たす負でない整数x.y.zの組は、全部で何個あるか

(2)等式x+y+z=10を満たす正の整数x.y.zの組は全部で何個あるか

です!解き方も教えていただけると有難いです。

Aベストアンサー

(1)

求める場合の数は、
10個の丸 『 〇 』と、2個の仕切り 『 | 』 を一列に並べる場合の数になる。

2個の仕切りによって、3つに分けることができます。
分けられた3つを左から順に

   x|y|z

とすれば、

例えば、

   〇〇〇|〇〇〇〇〇|〇〇

と並べた場合、

   x=3、y=5、z=2

となります。また、

   〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇||

と並べた場合、

   x=10、y=0、z=0  ⇐ 負でない整数だから、 『 0 』 も O.K.

となります。


なので、求める場合の数は、 ⇐  『 n! 』 と 『 nCr 』 のどちらを学んだかわからないので

   12!/(10!2!) もしくは 12C2

  =66 (通り)



(2) 解き方は、2通りほど・・・

(1つ目) (1)と同じ考え方をすれば、
          ~~~~~

x≧1、y≧1、z≧1 なので、10個の 『 〇 』 のうち、3個の 『 〇 』 をあらかじめ

x、y、zに1個ずつ振り分け、 【 残り7個 】 の 『 〇 』 を

(1)と同じ考え方で分ければよい。

求める場合の数は、
7個の丸 『 〇 』と、2個の仕切り 『 | 』 を一列に並べる場合の数になる。

例えば、

   〇〇〇〇|〇|〇〇

と並べた場合、

   x=4+1=5、y=1+1=2、z=2+1=3

となります。また、

   |〇〇〇〇〇|〇〇

と並べた場合、

   x=0+1=1、y=5+1=6、z=2+1=3

となります。

なので、求める場合の数は、

   9!/(7!2!) もしくは 9C2

  =36 (通り)


(2つ目)  (1)と異なる考え方をすれば、
          ~~~~~~

求める場合の数は、
10個の丸 『 〇 』の間に、2個の仕切り 『 | 』 を入れる

言い換えると

間の9か所の中から2か所選んで、選んだ2か所に仕切りを1個ずつ置く場合の数になる。


   〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇 〇
    ∧  ∧  ∧ ∧  ∧  ∧ ∧  ∧ ∧
    1 2 3 4 5  6 7 8 9

例えば、
2 と 6 の2か所を選べば、

   〇〇|〇〇〇〇|〇〇〇〇

となり、

   x=2、y=4、z=4

になり、

1 と 7 の2か所を選べば、

   〇|〇〇〇〇〇〇|〇〇〇

となり、

   x=1、y=6、z=3

になります。


【 端 】 を選ばないこと

   それと

同じ場所に2つの仕切りを置かないこと  に注意 !!


なので、求める場合の数は、

   9C2
  =36 (通り)

(1)

求める場合の数は、
10個の丸 『 〇 』と、2個の仕切り 『 | 』 を一列に並べる場合の数になる。

2個の仕切りによって、3つに分けることができます。
分けられた3つを左から順に

   x|y|z

とすれば、

例えば、

   〇〇〇|〇〇〇〇〇|〇〇

と並べた場合、

   x=3、y=5、z=2

となります。また、

   〇〇〇〇〇〇〇〇〇〇||

と並べた場合、

   x=10、y=0、z=0  ⇐ 負でない整数だから、 『 0 』 も O.K.

となります。


なので、求める場合の数は...続きを読む

Q1/x+1/y+2/z=1を満たす自然数解

をすべて求めよ という宿題が出ました
教えていただけないでしょうか?

Aベストアンサー

考え方を書いとくから、計算は自分でやって。

1/x+1/y+1/z=1を満たす自然数解 をすべて求めよ という問題をやった事がないだろうか?
現在では、整数値の問題としては standardになっている。

x、y、zは平等から x≧y≧z≧1 としても 一般性を失わない。
よって、1/x≦1/y≦1/z だから 1=1/x+1/y+1/z≦3/z だから z≦3.
ここで、z=1と2と3の各々の場合の不定方程式を解いて xとyの整数値を求める事になる。

この問題のいやらしいところは 1/x+1/y+1/z=1 ではなくて 1/x+1/y+2/z=1であるところ。
従って、x、y、zは平等から x≧y≧z≧1 としても 一般性を失わない、というわけには簡単には行かないところにある。
しかし、考え方で、その方法が使えなくはない。

(1) zが3つの数の中で、最小のとき。 但し、xとyの大小はどうでも良い。
1/x≦1/y≦1/z だから 1=1/x+1/y+2/z≦4/z より z≦4.
・z=4の時 条件式は  xy=2x+2y → (x-2)*(y-2)=4。x-2≧-1、y-2≧-1 だから 4=1×4、2×2より (x-2、y-2)=(4、1)、(2、2)
・z=3の時 条件式は  xy=3x+3y だから同じようにできる
以下、z=1、2 の場合も同じようにやる。

(2) xが3つの数の中で、最小のとき。 但し、zとyの大小はどうでも良い。

(1)と同じようにやるだけ。

(3)yが3つの数の中で、最小のときも同じ

但し、注意する必要があるのは、(1)で(2)でも(3)でも 最小の値は決まっているが、残りの2つは入れ替えが可能。
つまり、(1)において(x、y)=(6、3)、(4、4)だが (x、y)=(3、6)も解ということ。

考え方を書いとくから、計算は自分でやって。

1/x+1/y+1/z=1を満たす自然数解 をすべて求めよ という問題をやった事がないだろうか?
現在では、整数値の問題としては standardになっている。

x、y、zは平等から x≧y≧z≧1 としても 一般性を失わない。
よって、1/x≦1/y≦1/z だから 1=1/x+1/y+1/z≦3/z だから z≦3.
ここで、z=1と2と3の各々の場合の不定方程式を解いて xとyの整数値を求める事になる。

この問題のいやらしいところは 1/x+1/y+1/z=1 ではなくて 1/x+1/y+2/z=1であるところ。
従って...続きを読む


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