有理数列の存在の証明について教えてください。

問　
　任意のａ∊Rにたいし、ａに収束するような有理数列Ｘｎが存在することを示せ。また、任意のａ∊Rにたいし、ａに収束するような無理数列Ｙｎが存在することを示せ。
　Ｘｎ　Ｙｎの収束についてなので、εＮで最終的にまとめる方針でいます。しかし、最初の条件から、何もεＮに関する情報がないため、R開区間において、無限個の無理数と無限個の有理数が存在することを使うのではないかと思っていますが、証明方針と帰着の仕方が分りません。ご教授願います。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2012/05/30 23:23

これって, 何を仮定しているんだろう....

例えば, 「実数」の定義に依存する可能性もありますよね.

No.2 ベストアンサー 回答者： kabaokaba 回答日時： 2012/05/30 23:54

>無限個の無理数と無限個の有理数が存在することを使うのではないかと思っていますが

いやそんなことは使わない

有理数列の存在なんてのは
ぶっちゃけた話，実数aの小数表示を考えれば終わり

正の実数A>0に対して[A]でAの整数部分を表すとする

a>0のときのみ示せば十分である

b1 = [a]
b2 = [10(a-b1)]
b3 = [10(a-(b1+0.1b2))]
b4 = [10(a-(b1+0.1b2+0.01b3)]
・・・・
とすれば
Xn=b1+10^{-1}b2+10^{-2}b3+・・・10^{-(n-1)}bn
が求める有理数列

Ynは
Yn = Xn + 10^(-n)π
とでもすればいい．πじゃなくても2^{1/2}とか適当な無理数でいい
もっといえば 10^{-n}である必要もなくって，0に収束する有理数列であればなんでもいい．

Xnがaに収束するのをεδで示すのは難しくない
Ynがaに収束する無理数列であることはほとんど自明

No.3 回答者： MagicianKuma 回答日時： 2012/05/31 09:58

この質問への直接的な回答ではありませんが、

そもそも、εδ論法にせよεN論法ににせよ、そのこころは、正体不明の扱いにくい無限という概念を使わずに、収束性や連続性を厳密に議論するために考案されたものです。
なので無限個の・・・と言った時点で論旨がずれているわけです。