No.4
- 回答日時:
#2です。
>数学的帰納法では通常
>(1) n=1の成立を示し,
>(2) n=kの成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示す
確かに、一番最初に習うのはその形ですが、(2)を次の形に変えたものも数学的帰納法と呼ばれます。
(2)' n<=kの全ての場合の成立を仮定しそれを用いてn=k+1のときの成立を示す
(2)を使った帰納法も(2)'を使った帰納法も、全ての自然数についての成立を証明するという機能的には全く同等なことはお分かりと思います。しかし、その形から分かりますように(2)'を使ったほうが適用範囲が広いのでお勧めです。
ご提示の問題ですが。
n=1のとき、仮定より成立。
n=kのとき成り立つとする。従って、A=x^k+y^kは偶数である。
このとき、A(x+y)=x^(k+1)+y^(k+1)+xy(x^(k-1)+y^(k-1))
なるほど、ここでk-1の成立も仮定するというわけですね。
確かに(2)は使えませんが、(2)'を使った帰納法では問題なく証明できます。
No.3
- 回答日時:
こんにちわ。
問題の特徴というのかわかりませんが、
隣接 3項間の漸化式で与えられた数列なんぞを想像してもらえばよいかと。
ちょっとひねりが出てくると、こんな問題もあったりします。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5898948.html
帰納法の証明は、
「n= kを仮定して」や「n= k, k+1を仮定して」と置いてから進めていきますが、
「一般の nについて成り立つためには、
その1つ前やさらにその1つ前も成り立たないといけない(だろう)」
という要請からスタートすることも多いです。
そして、それを帰納法によって示していく。という流れです。
上のひねりが入った問題もその類になると思います。
参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/5898948.html
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