
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
単なる計算間違いでは?
途中計算が書いてないので何処で間違ったかはわかりませんが?
fy(x,y)=-y(2x^3+3x^2*y+y^3)/(x^2+y^2)^2
x=rcosθ,y=rsinθを代入すると
fy(rcosθ,rsinθ)
=-sinθ{2(cosθ)^3+3(cosθ)^2*sinθ+(sinθ)^3}/{(cosθ)^2+(sinθ)^2}^2
=-[2sinθ(cosθ)^3+{3(cosθ)^2+(sinθ)^2}(sinθ)^2]
=g(r,θ) とおく。
(x,y)→(0,0)のとき
fx(0,0)を求める時は (r,θ)→(0,0)ですが
fy(0,0)を求める時は (r,θ)→(0,π/2)または(0,-π/2)
となります。
このあたりで間違えたのでは?
x,yのままfy(0,0)を求める場合と比較してみて下さい。
lim[(x,y)→(0,0)] fy(x,y)=lim[y→0] fy(0,y)
=lim[y→0] -(y^4)/(y^4)=-1 ...(★)
r,θを代入した後fy(0,0)を求める場合は
lim[(x,y)→(0,+0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,π/2)] g(r,θ)
=g(0,π/2)
=-[2sin(π/2)(cos(π/2))^3+{3(cos(π/2))^2+(sin(π/2))^2}(sin(π/2))^2]
=-1 ...(●)
(★)と一致します。また
lim[(x,y)→(0,-0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,-π/2)] g(r,θ)
=g(0,-π/2)
=-[2sin(-π/2)(cos(-π/2))^3+{3(cos(-π/2))^2+(sin(-π/2))^2}(sin(-π/2))^2]
=-1 ...(■)
これも(★)と一致します。
(●)と(■)をまとめると
lim[(x,y)→(0,0)] fy(x,y)=lim[(r,θ)→(0,±π/2)] g(r,θ) = -1
となって(★)の結果と一致します。
結果から言って
x=rcosθ,y=rsinθとおいたことでかえって遠回りして質問者さんのミスを招いたと言えなくもありませんね。でも正しく理解すればfx(0,0),fy(0,0)の極限値の意味が分かったかと思います。
この回答へのお礼
お礼日時:2012/08/22 13:54
回答ありがとうございますm(__)m
θには、yに関しても0を代入すべきだと勘違いをしていたため答えがあっていませんでした。
π/2を代入しなおしてみたらちゃんと-1になりました。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 数学 数学の偏微分の問題です。 1変数の微分でも怪しいのですが、 f(x,y)=√(x-y^2/(2x^3 2 2022/12/09 11:01
- 数学 微分積分の問題でお聞きしたいことがあります。 次の関数zの2階の偏導関数を求める問題ですが、 log 2 2023/06/18 22:49
- 数学 【数学ⅲ】三角関数と合成関数の微分について 4 2022/07/07 21:44
- 数学 微分について教えてください 放物線y=x^2のx=1における微分係数を定義に従って求め、その点におけ 5 2023/04/16 15:38
- 数学 ベクトル解析の勾配の問題について 6 2022/04/30 15:31
- 数学 微分積分のn次関数についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:37
- 数学 次の関数を微分せよ y=sin^4 x cos^4 x という問題で自分は積の微分法で微分して y' 3 2023/05/17 20:38
- 物理学 この電気磁気学の問題が解けません。自分が解くと電界を求める時に、電位を求めてから電界を求めるのと、電 3 2022/05/26 12:50
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2023/01/08 13:57
- 数学 微分積分の極限についての問題がわからないです。 1 2022/08/08 22:46
おすすめ情報
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
回答者どもがなかなか答えられ...
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
cos(10π/3)は計算可能ですか?
-
{cos(-2/3π)+i sin(-2/3π)}^2...
-
なぜ3/4πがでてくるのか 分かり...
-
2番の問題について質問です 解...
-
重積分について
-
数学の問題です。 写真の積分を...
-
次の値を求めよ。(どうしてそ...
-
f(X)=[cosX]がなぜ不連続になる...
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cos(π/2-α)=sinαになるのはど...
-
xsinx-cosx=0 の解と極限
-
複素数のn乗根が解けません
-
数学・三角比の質問
-
∮ [0→1] arctanx dx の定積分を...
-
五芒星の角(?)の座標
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
この問題の解き方を教えてください
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
位相がよく分かりません。 cos(...
-
1 / (x^2+1)^(3/2)の積分について
-
数3の極限について教えてくださ...
-
cosπ/2やcos0ってどのように求...
-
複素数のn乗根が解けません
-
1/5+4cosxの0→2πまでの積分で、...
-
重積分の問題
-
数学の問題です。 写真の積分を...
-
なぜ3/4πがでてくるのか 分かり...
-
重積分について
-
1/(sinx+cosx)の積分
-
数学IIIの積分の問題がわかりま...
-
複素数α=cos2π/7+isin2π/7にお...
-
y=sin4θとy=cos4θのグラフの...
-
cos π/8 の求め方
-
∫[0→∞] 1/(x^3+1)dx
-
積分∫[0→1]√(1-x^2)dx=π/4
-
sinθ=3/5、(π/2<θ<π)のとき・・...
-
√π/2 の意味
-
極座標θ r φの範囲
おすすめ情報