A 回答 (8件)
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No.6
- 回答日時:
重積分の変数変換をするとき、ヤコビアン(すなわち
変換の偏微係数行列(ヤコビ行列)の行列式)ではなく、
その絶対値を掛けて積分します。絶対値がつくことは、
面積の印象から納得するのは容易だけれども、
証明をしようとすると、意外に面倒です。
多くの教科書に、変数変換の公式が挙げてあって、
その使い方は説明されているけれど、証明はめったに
添えられていない理由は、そこにあります。
貴方の数学との関わり方は、質問には書いてないけれど、
理学または工学を学ぶ/行う上で計算をする必要がある
ということならば、置換積分の公式は、天下りの公式
として覚えてしまうことを勧めます。
計算の道具としては、多用することになるものです。
No.5
- 回答日時:
#2,#3,#4です。
A#4の補足について
>ヤコビアン|J|は何でもrでいいのでしょうか?
座標変換により|J|は変わります。
詳細はA#4の参考URLや教科書、参考書をご覧ください。
ヤコビアンの計算方法が載っています。
座標変換
x=rcosθ,y=rsinθ
の時は以下のように計算します。
|J|=∂(x,y)/∂(r,θ)
=(∂x/∂r)(∂y/∂θ)-(∂y/∂r)(∂x/∂θ)
=cosθrcosθ-sinθr(-sinθ)
=r{(cosθ)^2+(sinθ)^2}
=r
でも、これはどこにでも載っていることなので
公式のように
dxdy=|J|drdθ=rdrdθ
と使って構いません。
(誰で知っている、どこにも載っている常識ですから、
逆に知らないということは勉強不足ということを意味しますヨ)。
No.4
- 回答日時:
#2,#3です。
A#3の補足について
>√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθのrはなぜかかってるのでしょうか?
重積分で変数変換をする場合ヤコビアン|J|を掛けてやる必要があります。
重積分における座標変換を使う場合、変換係数としてヤコビアンがかかってきます。
どの教科書や参考書にも載っていますので復習してください。
x=rcosθ,y=rsinθと座標変換すると
dxdy=|J|drdθ , |J|=r
とrがかかります。
詳細は参考URL
http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/0 …
の「非常に重要な例:平面の極座標」のところにも載っていますので参考にしてください。
参考URL:http://www2.math.kyushu-u.ac.jp/~hara/lectures/0 …
この回答への補足
初歩的なことも知らずすみません
ありがとうございました
あとでpdfの方を見させていただきます
ヤコビアン|J|は何でもrでいいのでしょうか?
No.3
- 回答日時:
#2です。
A#2の補足について
>問題文のどこがおかしいのでしょうか?
>>y=√(a^2-x^2) ...(※) の体積を座標変換を用いて求めよ
>この問題文は数学的にも日本語的にも意味が通じません。
書いた通りです。
「y=√(a^2-x^2) の体積」とは何でしょうか?
「y=√(a^2-x^2)」だけでは、2次曲線の一部(円周の半分)しか表さない曲線に過ぎず
体積は定義されません。
なので「y=√(a^2-x^2) の体積」では、何を言ってるのか理解不能ということです。
また、座標変換が何を指すか、明確でない。ということです。
>あと、
>2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
> =8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθとなる理由を教えてください
立体の対称性(xz座標面およびyz座標面に立体が対称)より
積分領域のθの範囲を「0≦θ≦π/2」として積分し、それを4倍すれば元の積分になる。
ということです。
2×4倍=8 となります。
この回答への補足
分かりました
ありがとうございました
√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθのrはなぜかかってるのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
>y=√(a^2-x^2) ...(※) の体積を座標変換を用いて求めよ
この問題文は数学的にも日本語的にも意味が通じません。
>π∫-aからa y^2 dxなら解くことができますが、
この積分の式は、a>0でyが(※)で与えられるとき、原点中心半径aの球の体積を
x軸の周りの回転体の体積公式を使って求める式です。
V=π∫[-a,a] y^2 dx=π∫[-a,a](a^2-x^2)dx
回転体の体積公式を使わないで体積を求めるなら
球の式を x^2+y^2+z^2≦a^2 (a>0)
とすると
半径aの体積Vは
V=2∫[x^2+y^2≦a^2] √(a^2-x^2-y^2) dxdy
x=rcosθ,y=rsinθと座標変換すると
√(a^2-x^2-y^2) dxdy=√(a^2-r^2) rdrdθ
V=2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
=8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθ
=8∫[0,π/2]dθ∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
=4π∫[0,a] r(a^2-r^2)^(1/2) dr
=4π[-(1/3)(a^2-r^2)^(3/2)][0,a]
=(4π/3) a^3
この回答への補足
問題文のどこがおかしいのでしょうか?
あと、2∫[0≦r≦a,-π≦θ≦π] √(a^2-r^2) rdrdθ
=8∫[0≦r≦a,0≦θ≦π/2] √(a^2-r^2) rdrdθとなる理由を教えてください
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