電線の緩みの計算

街中に建っている電柱で、その間を電線が橋っています。

・高さ１０ｍと８ｍの電柱の距離が20ｍあるとします。
・二本の電柱の間を２５ｍの電線が走っています。

とします。このとき、たるんだ電線の一番低い部分は地面から何ｍでしょうか。

他に条件がいるのかもしれませんがご教授お願いします。できれば、数学的に厳密な解を導き出すための導出法をおねがいします。


追記：懸垂線になる、と習った気はするのですが・・・。

No.7 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/22 12:14

いままでの断片的コメント、一部に脱けあり。

一応のブリーフィングを…。

>・高さ１０ｍと８ｍの電柱の距離が20ｍあるとします。
>・二本の電柱の間を２５ｍの電線が走っています。

　　　　↓ これを数式化…

　a*cosh(x/a) - a*cosh{(20-x)/a} = 2　　　 …(*)
　a*sinh(x/a) + a*sinh{(20-x)/a} = 25　　　…(**)

(*), (**) の和と差の積から、
　2*a^2*{cosh(20/a) - 1} = (25+2)*(25-2) = 621
これに Newton 流解法を適用して、
　a = 8.519
を得る。

この a の値を (*) あるいは (**) へ代入し、またまた Newton 流解法。
　x = 10.68
を得る。

得られた {a, x} を使って、たるみの深さを勘定。
　a*cosh(x/a) - a = 7.623
　a*cosh{(20-x)/a} - a = 5.623

　　　

No.6 回答者： EleMech 回答日時： 2012/10/17 23:08

数学的ではなく、配電規程の算出方法では、次のようになります。

水平張架の弛度と電線長との関係式から、
　L = S + 8 ・ D^2 / (3 ・ S)
　D = √(3 ・ S ・ (L - S) / 8)
　　= √(3 ・ 20 ・ (25 - 20) / 8)
　　= 6.1237 (m)
傾斜張架の弛度は低い電柱から、
　D0 = D ・ (1 - h / (4 ・ D)^2
　　　= 6.1237 ・ (1 - 2 / (4 ・ 6.1237)^2
　　　= 5.1645 (m)

　　h:支持高差　(10m - 8m)

ケーブルの地上高は、
　h0 = h2 - D0
　　　= 8 - 5.1645
　　　= 2.8355 (m)
に、なろうかと思います。

No.5 回答者： sou_tarou 回答日時： 2012/10/17 21:28

http://www.fair-sky.net/wada/souden/chido.html

カテナリ曲線と近似の放物線での解法の二つがあるようです。

No.4 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/17 21:16

訂正。

底の高さの差し引き忘れ。

残ったたるみ深さ。
　7.62 と 5.62
で、当然ながら 2 m 差。

　　

No.3 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/17 21:03

高差 = 2 を含めると、下記の連立式になりました。

やはり、Newton などに頼らないと算定できないようです。
(スプレッドシート上で簡単に組めますが…)

　y1 = a*cosh(x/a)
　y2 = a*cosh{(20-x)/a}
　y1-y2 = 2　　　　　　　…(1)

　L1 = a*sinh(x/a)
　L2 = a*sinh{(20-x)/a}
　L1+L2 = 25　　　　　　　…(2)

(1), (2) を等置して、a を算定。
　a = 8.52
これを使って、(2) から x を求める。
　x = 10.68

残ったたるみ深さ。
　16.14 と 14.14
で、当然ながら 2 m 差。

　　　

No.2 回答者： 178-tall 回答日時： 2012/10/17 17:44

>懸垂線になる、と習った…

確かに、数学モデルは「懸垂線」みたいです。
　y = a*cosh(x/a)　　　…(*)
これの弧長？
　L = a*sinh(x/a)　　　　…(*)
らしい。

これを鵜呑みにしたモデル試算を…。
問題の前提は、
　端高差 = 2
　電柱間隔 = 20
　線長 = 25
ですけど、まずは端高差 = 0 の場合から。

対称なので、x=10 にて L=12.5 になるよう a を算定してみます。
式変形では解決できそうもなく、Newton の逐次求値を試行。
　a = 8.455
が得られ、たるみの深さは、
　a*{cosh(10/a) - 1 } = 6.636
になりました。

端高差 = 2 を考慮すると？

　　　

No.1 回答者： fujiyama32 回答日時： 2012/10/17 10:47

電線の弛みの計算方法については、下のURLをクリックします。

表示画面の「[2]弛度(たるみ)の計算」を参考にして下さい。
また、計算に必要な諸元は計算式の記号によります。

[電験問題]…たるみ…/電気技術者協会]
http://www.jeea.or.jp/course/contents/12152/