カントールの対角線論法についておしえてください。

　　《無限集合にはその大きさの大小があるということ》

　というカントールの定理をめぐる次の証明の仕方はマチガイではないでしょうか？
　なるべく数式を使わずにおしえてくださるとありがたいです。

▲　（哲学するサラリーマン：平行線が交わる点）　～～～～
　　http://blogs.dion.ne.jp/le_fou/archives/10216164 …

　２．神の証明
　（その後半部分）

　（ a ）　次に、２つめの定理〔*--《無限集合にはその大きさの大小があるということ》--〕を見てみましょう。

　（ b ）　これもわかりやすい例を挙げて説明します。無理数全部の集合と自然数全部の集合とはどちらが大きいでしょうか。

　（ c ）　ここに（０と１の間の）すべての無理数がただ１つの列にリストアップされていると仮定します。例えば、

　　0.17643567……
　　0.23482435……
　　0.62346286……

　（ d ）　次に、この無限列の各行に対応する各々の無理数と、１から始まる自然数とが次のような１対１対応を作ると仮定します。

　　1⇔0.17643567……
　　2⇔0.23482435……
　　3⇔0.62346286……

　（ e ）　ここで自然数１に対応する無理数から小数点以下１番目の位を取ります。次に自然数２に対応する無理数から２番目の位を取ります。これを続けていけば0.133……という無理数が得られます。

　（ f ）　この無理数の小数点以下の数字を各々勝手に変えます。このような操作によって例えば0.245……という無理数ができます。

　（ g ）　この数は、自然数１に対応する無理数とは小数以下１番目の位で違い、自然数２に対応する無理数とは２番目の位で違い……となり、自然数と１対１対応させたどの無理数とも異なっていることが明らかです。

　（ h ）　すなわち、無理数全部の集合は自然数全部の集合よりも濃度において大であることが示される訳です。
　～～～～～～～～

　【Q‐１】　（ c ）の《（０と１の間の）すべての無理数》というとき　そのすべてがリストアップされうるのでしょうか？　それは　無限――つまりこの場合　可能無限――であると見てよいか？

　【Q‐２】　もし前項の無理数の集合が　無限であるならば　（ d ）の　１，２，３，・・・とやはり対応させられる自然数の数も無限になる。と捉えてよいか？

　【Q‐３】　もしよければ　（ f ）に言うあらたに勝手に作った無理数（例えば0.245……）は　もともとその無理数の集合の中にふくまれているものではないか？

　【Q‐４】　言いかえると　その無理数（（例えば0.245……）も　とうぜん自然数の無限の列挙と初めに対応していたはずではないか？　なぜ（ g ）のような結論にみちびかれるのか？

No.3 回答者： old_sho 回答日時： 2012/10/20 23:50

若干の食い違いがありますね。

Q３、Q４は、リストアップがなされていたとしたときに成立すると、私は見ました。

カントールの対角線論法の核心は、自然数と１対１対応ができたとする仮定は成立しない、というものです。できたと仮定すると、その仮定に反する物があると示す事ができると言う事です。その示し方は、そのサラリーマンは間違っていません。ただもっと厳密な表現が可能ですけれども。

自然数と１対１対応ができたとする仮定するならば、d、e、fの方法でその１対１に対応しない数が作られる、故にその仮定は成立しない。
ということで、作業が延々と続くという事ではありません。原理的にそのように対応しない数は作り得ると言う事ですから。

この回答へのお礼

　ご回答をありがとうございます。

　★　Q３、Q４は、リストアップがなされていたとしたときに成立すると、私は見ました。
　☆　リストアップが成されたということは　限りなく列挙されて行くというかたちで　成され得るということではないのですか？


　★　カントールの対角線論法の核心は、自然数と１対１対応ができたとする仮定は成立しない、というものです。
　☆　あぁ。そういふうに説明されると　わかりやすいと思います。
　でもそのように対応が出来ないのは　ただ無理数が限りなくつづいて行くからという理由だけではないのでしょうか？　無限に対応させて行くというかたちはあり得るのではないでしょうか？

　でも
　★　ということで、作業が延々と続くという事ではありません。原理的にそのように対応しない数は作り得ると言う事ですから。
　☆　ですか。

　★　できたと仮定すると、その仮定に反する物があると示す事ができると言う事です。その示し方は、そのサラリーマンは間違っていません。ただもっと厳密な表現が可能ですけれども。
　★　自然数と１対１対応ができたとする仮定するならば、d、e、fの方法でその１対１に対応しない数が作られる、故にその仮定は成立しない。
　☆　その方向において　受け取って留保します。
　ありがとうございました。

お礼日時：2012/10/21 00:18

No.2 回答者： NemurinekoNya 回答日時： 2012/10/20 23:50

こんばんはです。

ここで言っているのは、無限にはいくつかの種類があるということです。自然数の無限よりも、無理数の無限の方がランク・階層、無限の度合い、数学の用語で言うと《濃度》が上だということです。無限にもいろいろな種類があるということなんです。

ご紹介のサイトの説明（証明）よくないです。全然、駄目です。《無理数の小数点以下の各々勝手に数字を変えます》というところが駄目です。具体的にどのように並べ替えたのか、その方法を示さないと駄目です。
説明、弱ったな～。


☆☆☆☆☆☆
～～～～～～
　【Q‐１】　（ c ）の《（０と１の間の）すべての無理数》というとき　そのすべてがリストアップされうるのでしょうか？　それは　無限――つまりこの場合　可能無限――であると見てよいか？
～～～～～～
リストアップできません。
できるとすると、リストアップされた無理数は、それに１、２、３…という番号を割り当てることができる。そう仮定すると。。。。という意味です。つまり、この証明は背理法を使っているのです。



～～～～～
【Q‐２】　もし前項の無理数の集合が　無限であるならば　（ d ）の　１，２，３，・・・とやはり対応させられる自然数の数も無限になる。と捉えてよいか？
～～～～～
自然数の集合｛ １、２、３、…｝は無限（集合）です。




～～～～～
【Q‐３】　もしよければ　（ f ）に言うあらたに勝手に作った無理数（例えば0.245……）は　もともとその無理数の集合の中にふくまれているものではないか？
～～～～～
（当然、無理数の集合ですのですが。。。。）
ただ、0.133……を並べ替えてつくった0.245……の小数点１位の数字「２」は１ではない。小数点２位の数字「４」も２ではない。３位は「５」も３ではない。。。。
0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数ががない。
だから、無理数をリストアップし、自然数の番号を割り当てられると仮定したことが間違っている。
無理数には、自然数の番号を当てて割り当てることができない。
無理数の集合は、自然数の集合よりも、個数が多い。
というわけです。

Wikipediaのカントールの対角線論法
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%83%B3% …
の説明も難しいですね。

なので、
中村秀吉　パラドクス　中公新書
などのカントールの対角線論法の説明がいいのではと思います。


要するに、無理数の集合の要素、一つ一つに自然数の番号を割り当てられるかどうかということなんです。で、割り当てられない。だから、無理数の無限の度合いは、自然数や整数、有理数の無限の度合いが大きいというわけです。
なお、自然数の番号を当てられる集合を、番号を与えることができるということで、可付番集合とよび、無理数のように与えられない集合を可付番でない集合と呼びます。そして、無限の度合い・濃度は、それこそ無限にあります。

この回答へのお礼

　ねむりねこさん　すみません。ご回答をありがとうございます。

　★　要するに、無理数の集合の要素、一つ一つに自然数の番号を割り当てられるかどうかということなんです。
　☆　ですね。

　★　で、割り当てられない。
　☆　これの証明は　次ですね。

　★　～～～～
　（あ）　ただ、0.133……を並べ替えてつくった0.245……の小数点１位の数字「２」は１ではない。小数点２位の数字「４」も２ではない。３位は「５」も３ではない。。。。
　（い）　0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数ががない。
　（う）　だから、無理数をリストアップし、自然数の番号を割り当てられると仮定したことが間違っている。
　（え）　無理数には、自然数の番号を当てて割り当てることができない。
　（お）　無理数の集合は、自然数の集合よりも、個数が多い。
　というわけです。
　～～～～～～～
　☆　（い）が分かりません。
　★　0.245……に対応する自然数の番号をもつ無理数がない。
　☆　と言われても　それはまだリストアップしていなかっただけではないのでしょうか？
　あるいは言いかえれば　（ c ）で《（０と１の間の）　≫すべての≪　無理数がただ１つの列にリストアップされている》というそのリストにすでに　この《0.245……》なる無理数は　入っているはずではないのですか？
　
　もしこのウタガイが間違っていなければ　（う）も分からなくなりますし　（え）（お）にもみちびかれない。すなわち
　★　だから、無理数の無限の度合いは、自然数や整数、有理数の無限の度合いが大きいというわけです。
　☆　という結論が分かりがたくなります。



　★　無理数のように与えられない集合を可付番でない集合と呼びます。
　☆　これは番号をつけられないというよりは　どこまでリストアップしても限りなくつづくゆえにという意味ではないのでしょうか？　言いかえると　自然数によって　１，２，３，・・・と順番に限りなく番号をつけて行けるというようにも思われるのですが　どうしてそうではないのでしょう？




　すみません。よろしかったら　おしえてください。
　けっきょく《無限》における《濃度》なんていうのが　どうしてあるのか。これが　分かりませんが　そこまで行かないとしても　上に書き出しました疑問についておしえていただければさいわいです。

お礼日時：2012/10/21 00:11

No.1 回答者： old_sho 回答日時： 2012/10/20 23:03

そのサラリーマンの説明が、勇み足なのでしょう。

（c）＝（d）なのです。リストアップされると仮定する事と、自然数と１対１対応できると仮定する事は、同じ事なのです。
したがって、Q３、Q４は、問いとして不成立なのです。

なお、ご質問とは関わりなく、自然数も当然に無限です。

この回答へのお礼

　おーるどしょーさん　こんばんは。ご回答をありがとうございます。

　確認させてください。
　★　（c）＝（d）なのです。リストアップされると仮定する事と、自然数と１対１対応できると仮定する事は、同じ事なのです。
　☆　ということは　（ e ）のように対角線上の一つひとつの数を拾い上げるというときにも　その拾い上げ作業じたいが　延々と限りなくおこなわれる。と考えてよいのですね。

　したがって（ f ）のようにあらたな数を勝手につくるその作業も　やはり延々とつづいて限りがない。と。

　よって
　★　したがって、Q３、Q４は、問いとして不成立なのです。
　☆　と。


　ありがとうございます。

　なお
　▲　（ h ）　すなわち、無理数全部の集合は自然数全部の集合よりも濃度において大であることが示される訳です。
　☆　におけるこの

　《無限集合にはその大きさの大小があるということ》

　なる命題じたいは　成立するということでしょうか。いまのこの証明は《勇み足》ではあるが　カントールの定理は　真なのですね。
　ありがとうございました。

　
　　　

お礼日時：2012/10/20 23:20