展開図の問題。何かコツでもあるか？

Question

以下のような展開図（上）と、
それを組み立てた図形（下）があります。

問題は、「それぞれ対応する点をかけ」というものです。

…もはや、頭の中でがんばって想像するしかないのでしょうか・・・？
想像するのが難しく、困っています。
コツがあるようでしたら、アドバイスをお願いします。

noname#171951 · Accepted Answer

「展開」とありますが、下の四角形2つの面はなくて
スカスカですね。

下図にCとAの位置が表示されているので、それを
頼りにすればいいと思います。

下図でCからは辺が4本でてますよね。そして、面は
Cから4つでてます。一方、上図ではCから辺が5本に
なってます。

これは、上図でどれか2つの辺を同一視して貼り付
けているためだと考えます。

BCとDCを貼り付けると、Cからは辺が4本、面が4つ
でているようにできます。しかし、Cからでている2つ
の辺で、BCとDC以外の組み合わせだと、Cからでて
いる面のどれかが歪みます。

このように考えて、BCとDCを貼り付け、Cを頂点と
して底面（面はなくてスカスカですが）が四角形ABIJ
（ただしBとDとを同一視）であるような四角すいが
できます。

再び下図に目を移すと、Cを頂点とする四角すいの
となりにもう一つ四角すいができてますね。その頂点
はどこかと考えます。

2つの四角すいの頂点同士の間には、2つの三角形
があって、1辺を共有しています。そういう辺の候補と
しては、上図を見る限り、DIしかありません。つまり、
もう一つの四角すいの頂点は、DIを三角形の2頂点
にもつ残りの頂点であるFしかありません。そのFが
四角すいの頂点の候補になります。

Fからは辺が5本、面が4つでています。最初の四角
錐を作ったときと同じように、辺EFと辺GFを貼りあわ
せて同一視すれば、Fを頂点として底面（やはりその
面はなくてスカスカです）が四角形DEHI（ただしEとG
とは同一視）になるような四角すいとなります。

頭の中でいっぺんに組み立てられなくても、このように
一つ一つ手順を踏めば組み立てられます。

ORUKA1951 · Answer

私は、この手の問題は大好きでまったく苦手意識はないのですが、これは訓練次第でしょうね。もちろん、最低限の知識は必要でしょうが。
　特に女性の方に苦手意識を持たれることが多いようですから、性差もあるのかもしれません。
　しかし、一番良いのは、物を組み立てる経験です。私は小さい頃はプラモデルをはじめとする工作が大好きでして、平面図から立体を想像するのは得意です。
　折り紙とかを数こなしていくのがよいかと思います。

MarcoRossiItaly · Answer

空間図形の問題は、言ってみれば慣れというか、空間認識の能力の鍛え方次第です。ですからおっしゃるように「がんばって想像する」とか、紙工作などで実際に触り、作ってみるといったことは日頃から大事なことなのだと、まず思っておいてください。

とはいえ、何か手がかりが見付かれば、難しそうな問題も簡単になりますね。

さて、この問題についてのヒント。展開図はよく見ると、線分 DI で 2 つに切断した場合、2 つの図形が合同ですよね。だから下の絵のように、同じ形の底なしピラミッドが 2 個できるわけです。半分にして三角形の個数が減れば、少しは考えやすいのでは？点 D と I は、下の絵ではどこに来るでしょうか。

展開図の問題。何かコツでもあるか？

「展開」とありますが、下の四角形2つの面はなくて

私は、この手の問題は大好きでまったく苦手意識はないのですが、これは訓練次第でしょうね。

空間図形の問題は、言ってみれば慣れというか、空間認識の能力の鍛え方次第です。

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