数II対数関数の問題

解説をお願いしますm(_ _)m

No.2 回答者： yyssaa 回答日時： 2012/12/24 22:11

見える範囲で回答します。

（１）＞
f(x)=2*4^(x)-5*2^(x+2)+56=2*(2^2)^(x)-5*{2^(x)*2^2}+56
=2*{2^(x)}^2-20*2^(x)+56
2^(x)=tを代入して
g(t)=2t^2-20t+56・・・答
＞g(t)=2(t^2-10t)+56=2(t-5)^2+6
からg(t)はt=5で最小値6となるので、
f(x)の最小値は6・・・答
（２）＞
log4_{2*4^(x)-5*2^(x+2)+56}=log2_{2^(x)-2}
2*4^(x)-5*2^(x+2)+56＞0かつ2^(x)-2＞0
g(t)＞0は全てのtで成り立つので、2^(x)-2＞0から2^(x-1)＞1
両辺の対数をとってlog2_2^(x-1)＞log2_1=0
log2_2^(x-1)=(x-1)log2_2=(x-1)＞0からx＞1・・・答
＞底の変換で
log2_{2^(x)-2}=log4_{2^(x)-2}/log4_2
log4_2=log4_{4^(1/2)}=(1/2)log4_4=1/2だから
log2_{2^(x)-2}=log4_{2^(x)-2}/(1/2)=2log4_{2^(x)-2}
=log4_{2^(x)-2}^2
よってlog4_{2*4^(x)-5*2^(x+2)+56}=log4_{2^(x)-2}^2
から2*4^(x)-5*2^(x+2)+56={2^(x)-2}^2・・・答
＞2^(x)=tとすると
2t^2-20t+56=(t-2)^2=t^2-4t+4、t^2-16t+52=0、これを解いて
t={16±√(16^2-4*52)}/2=(16±√48)/2=(8±2√3)・・・答
＞2^(x)=(8±2√3)からx=log2_(8±2√3)=log2_{2*(4±√3)}
=log2_2+log2_(4±√3)=1+log2_(4±√3)・・・答
（３）log2_{2*4^(x)-5*2^(x+2)+56}=αの解がただ一つ存在
するのは
＞log2_{2t^2-20t+56}=log2_2*{t^2-10t+28}
=1+log2_{t^2-10t+28}からlog2_{t^2-10t+28}=α-1
t^2-10t+28=2^(α-1)、t^2-10t+28-2^(α-1)=0の解がただ
一つ存在する条件は判別式が0、すなわち
10^2-4*{28-2^(α-1)}=0、2^(α-1)=3、(α-1)=log2_3
α=1+log2_3・・・答

No.1 回答者： info22_ 回答日時： 2012/12/24 14:48

画像が暗く、しかも文字が小さく、細かい文字が判読困難なので、手打ち入力して再投稿していただいた方が、回答がつくと思います。