極限の求め方について質問です。

F(x)=(x－2)/(xlogx－x))のグラフを書きたいと思っています。

そこでf(x)を微分し、f’(x)=0となるのは、x=1のときとわかったのですが、
分母がx(logx－1)より、グラフは、x=0とx=eの時に途切れることになるので、x=0とx=eが漸近線となるのは、わかるのですが、x→+∞, x→－∞の時と、x=0とx=e前後での極限（０に近づくのか、+∞になるのか、－∞になるのか）の求め方がわかりません。というのも、x→0+0, x→0－0, x→e+0, x→e－0, x→+∞, x→－∞,のときを求めなければいけないと思うのですが、∞にとばすと、∞/∞となったり、0/0となったり、2/0となったりします。ルートなどがあれば、有理化など、方法もあると思うのですが、この問題の場合、どうやって極限を求めればよいのでしょうか。

ちなみに自分でやった結果は次のとおりです。
x→0+0　　のとき　-2/0
x→0－0　のとき -2/0
x→e+0　　のとき e-4/0
x→e－0　のとき　　e-4/0
x→+∞の　とき ∞/∞
x→－∞, 　のとき　　　∞/∞

全然ダメです。
どなたか、ご教示いただければうれしいです。よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： siegmund 回答日時： 2004/02/23 14:58

質問内容からして実関数を考えておられるようですが，

それなら x>0 でないと意味がありません．
log(x) の定義域が x>0 ですから．

○ x → +0 のとき
分子は -2 に近づき，分母は -∞に行きますから，F(x)→+∞

○ x → e-0 のとき
分子は e-2，分母は -0，したがって F(x)→-∞

○ x → e+0 のとき
分子は e+2，分母は +0，したがって F(x)→+∞

○ x → +∞ のとき
hinarikako さんご指摘のように F(x)→+0

大体，下のような感じですね．
x=1 で f'(x)=0 とはならないと思いますが．


f(x)

│　　　　　　　　　　　　　　　　　※
│※　　　　　　　　　　　　　　　　※
│※　　　　　　　　　　　　　　　　　※
│　※　　　　　　　　　　　　　　　　※
│　　※　　　　　　　　　　　　　　　　※
│　　　※※　　　　　　　　　　　　　　　※
│　　　　　※※　　　　　　　　　　　　　　※※
│　　　　　　　※※　　　　　　　　　　　　　　※※※
┼───────────────────────────ｘ
│　　　　　　　　　　　※　　　　ｅ　　　　　　
│　　　　　　　　　　　　※　　　　　　　　　　　　
│　　　　　　　　　　　　　※　　　　　　　　　　　　
│　　　　　　　　　　　　　※　　　　　　　　　　　　
│　　　　　　　　　　　　　　※　　　　　　　　　　　　
│　　　　　　　　　　　　　　※　　　　　　　　　　　　

この回答へのお礼

ありがとうございました。
真数条件を忘れていました。
この問題は、実数解の個数を求める問題で、私は、定数分離の方法でやったので、この式になったのですが、今日教えてもらった解答は、定数分離ではない方法で解かれていました。
この方法でももう一度考えてみます。グラフまで書いていただきありがとうございました。

といいながら、実は昨日、今日とで国公立の試験が終わりました。その前にいただいた回答は読ませていただいて、参考にさせていただきました。ありがとうございました。

お礼日時：2004/02/26 19:36

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2004/02/24 09:27

siegmund です．

しまった，ミスタイプしました．

３番目の○は

○ x → e+0 のとき
分子は e-2，分母は +0，したがって F(x)→+∞

と訂正してください．

No.1 回答者： hinarikako 回答日時： 2004/02/23 11:35

(x-2)/(xlogx-x)=(1-2/x)/(logx-1) になります。

したがってｘ－＞∞の極限値は０です。

この回答へのお礼

さっそくお返事をいただきありがとうございました。参考にさせていただきました。

お礼日時：2004/02/26 19:36