統計学について

統計学の問題です。自分でやってみたのですが、できなくて困っています。解答、解説をよろしくお願いします。問題は以下です。
2つの確率変数X,Yの平均は0であり、それらの分散と共分散はV（X）＝9、V（Y）＝16、Cov(X,Y)=8であるとする。X、Yを比率w,1-w（0<w<1)で案分して得られる確率変数Z=wX+(1-w)Yの分散を求め、分散を最小にする比率wを求めよ。
ちなみに、答は、w=16/18=8/9の時、最小値80/9を取るです。

No.1 ベストアンサー 回答者： muturajcp 回答日時： 2013/01/13 04:30

Z=wX+(1-w)Y

EX=EY=0
VX=9
VY=16
Cov(X,Y)=8
とすると
EZ=wEX+(1-w)EY=0
9=VX=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=EX^2
16=VY=E(Y-EY)^2=EY^2-(EY)^2=EY^2
8=Cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)=EXY-EYEX=EXY

VZ
=E(Z-EZ)^2
=E(Z^2)
=E(wX+(1-w)Y)^2
=w^2EX^2+(1-w)^2EY^2+2w(1-w)EXY
=w^2(VX)+(1-w)^2(VY)+2w(1-w)Cov(X,Y)
=9w^2+16(1-w)^2+16w(1-w)
=9w^2+16-32w+16w^2+16w-16w^2
=9w^2-16w+16
=9{w-(8/9)}^2+80/9
∴
確率変数Z=wX+(1-w)Yの分散
VZ=9w^2-16w+16
w=8/9のときVZ最小値80/9を取る

この回答へのお礼

ありがとうございます。理解できました。

お礼日時：2013/01/13 13:12