このような関数はどうやって積分するのですか？

∫x/(x^3+x+4)dx
このような、分子や分母が微分や積分の関係になく、また分母が因数分解できず部分分数分解が出来ない関数はどうやって積分するのでしょうか？
興味本位なので良ければ教えてください

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/01/29 23:36

分母=0 は三次方程式だから、カルダノ法で解けて、

被積分関数の部分分数分解も、解析的どころか、
代数的に明示できる。…原理的にはね。
エライ式になるから、やってみる気になれないけど。
部分分数分解ができれば、不定積分も
代数式と log を使って明示できる。原理的には。
エライ式になるから(以下同文)

この回答へのお礼

分かりました
ありがとうございました

お礼日時：2013/01/30 06:27

No.3 回答者： ramayana 回答日時： 2013/01/29 23:19

普通に、分母を因数分解して、被積分関数を部分分数に分解して、積分すればよいのでは？

分母を因数分解すると、

　　x^3+x+4 = (x-a)(x-b)(x-c)

　　a ≒ -1.37879670012955086
　　b ≒ 0.68939835006477543+1.55750128578313024i
　　c = （bの複素共役）

これを使って被積分関数を部分分数に分解すると、、

　　x/(x^3+x+4) = d/(x-a) + e/(x-b) + f/(x-c)

　　d ≒ -0.205691052408518091
　　e ≒ 0.10284552620425905-0.18445916827944383i
　　f = （eの複素共役）

よって、不定積分を計算すると、

　　∫(x/(x^3+x+4))dx = p×atan(q/(x+r)) + d×log(x-a)

　　p = 2×（eの虚部）≒ -0.3689183365588877
　　q =（bの虚部） ≒ 1.55750128578313024
　　r = （bの実部） ≒ 0.68939835006477543

となります。

この回答へのお礼

わざわざ大変な計算をしていただいてありがとうございました

お礼日時：2013/01/30 06:26

No.2 回答者： tmpname 回答日時： 2013/01/29 23:17

この問題の場合は（本当に頑張れば）部分分数分解できます。

x^3+x+4の根は実根が1つ、互いに共役な虚根が計2つで、いずれもCardano法で出ます。従って、x^3 + x + 4は（実数係数の1次式）＊（実数係数の2次式）の形に（加減乗除とべき根を繰り返すことで）因数分解でき、x/(x^3+x+4)も部分分数分解できます。

この回答へのお礼

一応因数分解できるんですね
ありがとうございました

お礼日時：2013/01/30 06:25

No.1 回答者： masics 回答日時： 2013/01/29 21:16

解析的に（手計算で）解けないようです．求めるには数値計算をするしかないと思います．

参考サイト：http://integrals.wolfram.com/index.jsp?expr=x%2F …

上のサイトで積分を実行できます．

この回答への補足

ありがとうございます
やはり解けないんですね
ついでですが、(logx)^2やe^(-x^2)とかの積分も数値計算するしかないのでしょうか？

補足日時：2013/01/29 21:42