空間ベクトル

三点A(1,2,-1) B(3,4,-1) C(2,3,-1+√2)
Dを頂点とする、平行四辺形ADBCが
あるとき点Dの座標を求めよ。
また、この平行四辺形の面積を求めよ。



数Bの空間ベクトルです。

No.3 回答者： yyssaa 回答日時： 2013/03/11 20:48

＞D(x,y,z)とすると、↑AD=↑AC+↑CB+↑BD=↑AC+↑CB+↑CA=↑CB

↑AD=↑D-↑A=(x-1,y-2,z+1)、↑CB=↑B-↑C=(1,1,-√2)
x-1=1、y-2=1、z+1=-√2
よって、D(2,3,-1-√2)・・・答
平行四辺形の面積=|↑AC|*|↑AD|sin∠CAD
↑AC=↑C-↑A=(1,1,√2)だから|↑AC|=√(1+1+2)=2
|↑AD|=|↑CB|=√(1+1+2)=2
↑AC・↑AD=↑(1,1,√2)・↑(1,1,-√2)=1+1-2=0
=|↑AC|*|↑AD|cos∠CADだから、cos∠CAD=0
よって、平行四辺形の面積=|↑AC|*|↑AD|sin∠CAD
=2*2*√(1-cos^2∠CAD)=4・・・答

No.2 回答者： info22_ 回答日時： 2013/03/11 11:32

平行四辺形ADBCの形状ですが、添付図を見て下さい。

(1)頂点A,B,C,Dが名前順の「A,D,B,Cの順に一周する並び順」でしょうか？（頂点Dが図のDの位置）
この場合は通常、平行四辺形ADBCと書く。

それとも
(2)頂点A,B,C,Dが「アルファベット順に一周する並び順」でしょうか？（頂点Dが図のD'の位置）
この場合は通常、平行四辺形ABCDと書く。

他に
(3)頂点A,B,C,Dが「A,B,D,Cの順に一周する並び順」でしょうか？
この場合は通常、平行四辺形ABDCと書く。

平行四辺形ADBCと書いてあるので
(1)の場合でよろしいでしょうか？
そうであれば,Oを原点(0,0,0)として
OD↑(x,y,z)=OA↑+CB↑=OA↑+(B↑-C↑)
ベクトルの成分表現で計算すると
=(1,2,-1)+{(3,4,-1)-(2,3,-1+√2)}
=(1+3-2,2+4-3,-1-1+1-√2)
=(2,3,-1-√2)

となるので点Dの座標は(2,3,-1-√2)。

平行四辺形ADBCの面積Sは
AD↑=OD↑-OA↑=(2,3,-1-√2)-(1,2,-1)=(1,1,-√2)
AC↑=OC↑-OA↑=(2,3,-1+√2)-(1,2,-1)=(1,1,√2)
辺AD=√(1+1+2)=2,辺AC=√(1+1+2)=2
内積AD↑・AC↑=(1,1,-√2)・(1,1,√2)=1+1-2=0
∴AD↑⊥AC↑
∠CAD=90°
つまり,平行四辺形ADBCは一辺の長さ2の正方形である。
面積S＝2×2=4

No.1 回答者： USB99 回答日時： 2013/03/11 06:21

D=(x,y,z)とするとAB=CDより(3,4,-l)-(1,2,-1)=(x,y,z)ー(2,3,-1+√2)

∴(x,y,z)=(3-1+2,.........)


S=√(IBA I^2・|BCl^2-(BA・BC)^2)だから

BA=(1,2,-1)-(3, 4,-1)=(-2,........)
BC=((2,3,-1+√2)-(3,4,-1)=(......)