パーセンテージの計算について質問です

質問１：

先月収入は50万円で、今月は60万円でした。
今月の収入は先月と比べて何％増ですか？


この問いの答えは「60÷50=1.2」で20％増だと思います。
小学生でもできる問題ですね。


そこで質問ですが、

ではなぜ「割った」のですか？

この答えを明確に言葉で表せられる方いらっしゃいませんか？

なぜこんな質問をしますかといいますと、
自分が聞かれた時に明確に言葉で言えなかったからです。


中学生に数学を教える機会があって、％に関する問題を一緒に解いていた時に

「なぜ割るの？」

と聞かれて、言えなかった自分が本当に情けなくて仕方ありませんでした。

自分はもう「当たり前」の感覚で「割る」行為をしていたので、
それを言葉で説明することなどできなかったのです。

なので、明確に「割る」理由を教えて頂けませんか？


質問２：

先月の収入は50万円で今月は60万円だった時と、
先月の収入は60万円で今月は70万円だった時とを比べた時に、
増えた額は「10万円」と同じ額であるにもかからわず、

前者は先月と比べて今月は20％増、
後者は先月と比べて今月は16.6％増、というように

増えた割合は違いますよね？

それは一体なぜなのでしょうか？

明確に言葉でその理由を説明できる方いらっしゃいませんか？

これは質問１と同様に、中学生に聞かれて答えられなかった質問です。。。。



数学に（これ位だと算数かもしれませんね）精通されている方、
どなたかご教示頂けたらと思います。

No.4 ベストアンサー 回答者： hanabi7716 回答日時： 2013/04/04 20:54

こんばんは。

「割合」…小学生の苦手な単元でワースト３に入るものですね…はい、中学生の質問の意図はよく分かります。きちんとしたお答えになるかどうかわかりませんが挑戦させて下さい。

まず、これは「もとにする量」（＝50万円）に対して「くらべられる量」（＝60万円）がどのくらいの「割合」かを問うた問題ですね。「何パーセント増しか？」が本質ではなく「もとにする量を『１』としてみたときに比べられる量はいくつ分にあたるか」ということなのです。

「いくつ分にあたるか」という文言からも分かるようにこれは正に「わり算」なのです。わかりやすい数字にしてみましょう。仮に今月の給料が100万円だとしたら、先月の給料50万円（もとにする量）と比べた割合はいくつでしょうか？という問題でしたらいかがでしょうか。

そうです。100÷50という立式になりますね。50を『１』として考えるので100は割合で言うと２になりますし、百分率で言うと200％になりますし「いくら増えたか？」という問いには「２－１（元の量）」で「１」なので100％増し、ということになります。

ここで大事になってくるのは先月の給料に対しての今月はどのくらいの割合か、という点です。表（図）にして書いてみると分かりやすいです。先月の給料の50を（分かりやすく）5センチの横棒を書いてみます。その下に今月の給料100を10センチの横棒にして書いてみます。この時に100や50という数字は考えないで、純粋に短い横棒（5センチ）をもとにして、長い横棒（10センチ）はどのくらいの割合になるか、と問えばおのずと「長い棒の中に短い棒がいくつはいるか？」という作業になってきますよね。これが正に「割合」はわり算であるという証左であります。

当然のことながら、この「いくつ分」は整数ばかりではありませんよね。質問者さんの問題にあった60万円だった場合ははしたの部分、即ち「小数」になったりするのです。ちなみに60万円の場合は1.2個分のの横棒がはいります。これは「短い棒が1本は入って、なおかつあまりがあるけど、それはもとの横棒を10等分したうちの2つ分入る」ということになります。ですから増えた分は「0.2個分」＝20％ということになるわけです。

もちろん「くらべられる量」は「もとにする量」より少ない場合があります。（小学生の入りはこちらが多いです）その場合でも「割合」の構造や考え方は何も変わることはありません。今度は「もとにする量」の横棒より「くらべられる量」の棒の方が短くなるのです。ですから、今月の給料は先月より減った、ということになり70％とか80％とかいうように100％（割合の１）を下回ることになるのです。

60÷50としたときに、きちんと指導上おさえておきたいことは「60」を50等分（等含除）しているわけではないのです。50を１としてみたときにいくつぶんかという考え方なのです。（包含除）ここはきちんと理解させたいところです。たぶん、くだんの中学生はわり算の2つの役割＝等含除、包含除のことが定着していないのだと思われます。（←よくある話ですが）

あなたにとっても中学生にとってもすっきりとした解答になっていれば幸いです。うまい答えになっていなければごめんなさい。

この回答へのお礼

お返事遅くなりました。


僕がお聞きしたかったのはまさにこれです！！


是非とも参考にさせて頂きますね！！

お礼日時：2013/06/10 23:29

No.6 回答者： alice_44 回答日時： 2013/04/05 04:23

質問された貴方の戸惑いが、もっともです。

何を質問したいのかが、ハッキリしていないから。

「何％増か」とは、「前値に対する割合が
％表示で100よりどれだけ大きくなったか」
を縮めて言ったものに過ぎないから、
「前値に対する割合」を求めるために割る…
形式的にはコレだけの話なので、理由もナニも、
割れと言われたから割ったまでのことです。
「こうやるもんだ。覚えとけ。」としか
教えようがありません。

では、その中学生が、この言い換えを知らなくて
質問したのかというと、どうもそうとは思えない。
勝手に想像すれば、ここまでの回答者諸氏が
書いておられるように、
「何％増か」を求める意味は何か？を
質問しているように思われます。

しかし、それは、何％増かを知りたい人の問題
であって、何％増かを問われて計算する人の
問題ではありません。

では、「気を散らさず、効かれたことに答えろ」
と教えればいいかと言うと…
あまり教育的でない気がしますよね。

そういう訳で、何を質問しているんだか
何を回答しているんだかが、ボンヤリしてしまう
質問なのです。

No.5 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/04/04 21:52

まず、「割る」と言う計算処理と、数学的な意味をしっかり区別することが必要です。

　これは、小学校では分かっていたのに、中学生になると混乱して忘れてしまう事がとても多いのです。
　この問題自体は、「割合」と括られる課程です。
　割合とは、(部分)/(全体)、あるいは(比較される数)/(比較元の数)でしたね。
　ここは、(増えた部分)/(比較元の数)という関係になります。

★問題はこの後なのです。・・・・
　中学校で、小学校で学んだ
「グループ内の数×グループの数」リンゴが３つ乗った皿が４枚なら3×4であって4×3
「小さい数から大きい数は引けない」2-3は計算できない
「分数・割り算」10を5で割ると1/2
　とか、習ったはずです
・中学校で、負の数を学ぶことによって
　2-3ではなく、2 + (-3) = -1 という【計算が出来るようになった】
　2-3≠3-2 だけど 2+(-3)= (-3)+2と、順番を変えて計算できる
・割り算は、逆数(分数)をかけること
　2÷3 = 2×(1/3)
　2÷3≠3÷2 だけど、2×(1/3) = (1/3)×2 と、順番を変えて計算できる
この知識で、未知数を含む計算が自由に出来るようになったはずです。

　大事なことは、算数ではその原理・意味を身に付け、数学で数が抽象的なものに拡張され自由に計算できるようになったことを区別しておくことです。

「何割、何％増えたのと言う場合に、なぜ割るの？」は、実はなぜそういう計算をすると答えが出るの？という意味なのです。これを理解していないと、説明はできないでしょう。

Q:先月の収入は50万円で今月は60万円だった時と、先月の収入は60万円で今月は70万円だった時とを比べた時に、

　この問題を意味で考えると、「先月の収入は50万円で今月は60万円だった」から、本来は、60-50で増えた金額をだして、その後割合の計算で (10/50)×100=増えた割合(%)という算数です。「先月の収入は60万円で今月は70万円だった」は、本来は、70-60で増えた金額をだして、その後割合の計算で (10/60)×100=増えた割合(%)ですね。

★この問いの答えは「60÷50=1.2」で20％増だと思います。
　いいえ、違います。これは単に今月の給料と先月の給料の割合を出しているだけですよ。

　これは、60/50 = 1.2　　1.2-1.0=0.2　　0.2×100=20をすっ飛ばして計算しているのです。これを式で書くと
　(60/50 - 1.0) ×100 = 20
ですよ。これが、
　{(60-50)/50 }×100 = 20
と同じであることを示さなければなりません。
　前者のほうが計算が楽ですね。

ここで、中学校で学んだ「引き算は負数を加えること」「割り算は逆数をかけること」、それによって置換・分配・結合という【計算】が生きてくるのです。

{(y - x)/x }×100
= {y/x - x/x }×100 分配
= {y/x - 1}×100

∴ {(y - x)/x }×100 = {y/x - 1}×100
　何％増えたか減ったかは、変化後の数を比較対象の元の数で割って1を引いて、100倍したものと同じになる。変量ではなく、結果の数を比較元の数で割って1(%の場合は100倍)引けばよい。

となるのです。

No.3 回答者： Subaru_Hasegawa 回答日時： 2013/04/04 20:37

中学生に聞かれてとありますが、その中学生も大概だと思います。

一度、四則演算の意味合いをゼロから確認しましょう。

寧ろ、質問者は算数よりも言葉の意味を調べて、それを活かせるように
基礎からやり直す事を進めます。解法の丸暗記ばかりしている者に多い弊害ですな。

No.2 回答者： j-mayol 回答日時： 2013/04/04 20:18

ではなぜ「割った」のですか？

割合は別の言い方をすれば～倍ということと同じです。
先月収入は50万円で、今月は60万円でした。
今月の収入は先月と比べて何％増ですか？
という問題であれば増えた額が先月の何倍ですか？というのと同じように考えます。
そうすると増えた１０万円が５０万円の何倍かという計算になるので10÷50＝0.2倍　つまり20％となるわけです。6が2の何倍ですか？と聞かれたときに６÷２＝3倍　ということには疑問はないと思います。

質問２
結局10万円がもともとの50万円の何倍か？60万円の何倍か？と考えているので違うのは当然ですね。

No.1 回答者： system110 回答日時： 2013/04/04 20:04

基準値（１００％）に対する割合なので

野球で言うといころの打率と同じでいいんではないでしょうか
打率のことは学生でも詳しいと思います
あと、
勝率とかもです