数学 ルートi の値について

√－１と言う結果が出た場合、どのような値にすればいいのでしょうか？

例えば
√１と√－１ではどちらが大きいのか？　比でで表すと、何対何？
１：√i　←これではだめです(^_^;)
√－１と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから「０」としていいのか？
符号を消して「１」として扱うか？
結果としてでているので相殺できません。

困ってます(^_^;)

No.10 回答者： noname#598 回答日時： 2001/05/26 13:39

ここで抽象的に虚数実数のうんぬんをやりあっていても議論は進まないと考えます。

実際に,
「室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求める公式」を書いてください。
室内の温度がｘ、室外の温度がｙ、自然換気量がｚだったら、
ｘ、ｙ、ｚにはどのような関係式があるのですか？
公式が成り立っていると仮定した上で、どのような数値を入れたら、
ご質問のような不具合が生じるのですか？
式をテキストだけで表現するのは難しいことですが、
それは頑張って解読するので、お願いします。

この回答への補足

回答ありがとうございます。

http://203.174.72.112/satou03/ondosa-g1.jpg (62KB）

Qg：換気量（m3/sec）

α：流量係数　0.65～0.70　程度の値です。
Ａ：開口部面積（m2）　開口部は、顔とひざのトコロにあると考える。
ｇ：重力加速度　9.8（m/sec2）
ｈ：給気口と排気口の高さの差（垂直方向）

問題なのは、ルートの中の　ti（室温）－to（外気温度）でした。
公式にそっくり温度を代入すると、

室温＜外気温　となった場合。

私の計算ミスでなければ、マイナスになってしまいます。
（ｇもｈも正数であると考えた場合です。）
（温度以外の条件はすべて同じで、温度による換気量を比較したかったので、α・Ａ・２・ｇ・ｈは省略して計算しいます。）

布団の中で天井を見ながら考えた結果、「室温」・「外気温」と言う言葉に惑わされていたのだと思います。
室温・外気温・内・外ではなく、高温側・低温側と読み替えることで、解決するのではないかと思います。？
もしかして、室温・外気温はそのままで、温度が逆転することによって、給気口と換気口の高さの差の計り方が逆になり負の値になるのかもしれません？？
高さの差は、絶対値ではなく符号が必要な数値のような気がしてきました。
ナゾは深まるばかりです。

補足日時：2001/05/27 16:48

No.9 回答者： ametsuchi 回答日時： 2001/05/25 11:43

電磁気だけでなく、音もそうですね。

要するに「波」を扱う場合、複素数は大変便利です。実は他の「音」に関するスレッドで、大ボケかましてsigmundさんに助けて頂き、訂正とお礼を言おうと思ったら締め切られてしまいました。この場をお借りして改めてお礼申し上げます。

実数値を幾何的・直観的に表現するのに、一次元的な「数直線」で表現できますが、複素数を表わすには、２次元的な「複素平面」が必要です。視野を２次元的に広げると複素数が理解できます。一次元的な視野だといつまで経っても理解できません。２次元のものの一次元的な「影絵」だけを見ることになるからです。

「No.1」で申し上げたとおり、「ｉ」は複素平面での成分表示で（0,1）であり、

・ 長さ=1.0
・ 「東」からの反時計回り角度=90°。これを「偏角」といいます。

です。この平面で半径=1.0の円を想像して下さい。実数の1.0も、「ｉ」も同じ円周上にあります。当たり前ですが原点から等しい距離です。これを絶対値といいます。「大きさ」ですね。この例の場合、どちらも「大きさ」は＝1.0です。
ですから、実数の１(1,0)と虚数ｉ(0,1)は、

１） 大きさは同じ
２）偏角が90°ずれている

訳です。「波」の話に戻りますが、波（定常波）は複素平面上をある半径で規則的に周るものと考えることができます。半径は一定ですが、偏角は時刻の関数です。この半径を「振幅」、偏角を「位相」と分けることによって、波の性質を見事に表現することができるのです。全く同じ高さと周期を持った２つの波でも、「位相」が揃えば、振幅（＝波の高さ）は２倍になるし、「位相」が180度ズレると、打ち消し合ってしまいます。

これを実数の１(1,0)と虚数ｉ(0,1)の話に置き換えると、同じ高さの波だが、1/4波長位相がズレているということになります。この方が理解し易いでしょうか？

余談ながら、物理屋さんや電気屋さんの言う「位相」は「Phase」、数学屋さんの言う「位相」は「Topology」で中身は全く別です。ご注意下さい。

尚、虚数「ｉ」に付いては既に以前、何度か話が出ており、素晴らしい説明も出ているので、詳しくは過去ログをご覧下さい。

No.8 回答者： noname#585 回答日時： 2001/05/25 10:47

こんにちは。

数学をやっている立場からさらっと・・・
今の高校生は数学Ｂで複素数を習います。
（二乗して－１になる数のひとつ、√－１を虚数単位
と言い、ｉで表します。）
これを導入することによりすべての二次方程式が解けるようになります。
複素平面なども同じように習います。
１５年度からは数学(2)で複素数を習うことになります。
ちなみに私は、１８年前に数学(1)で習いました。
ということで、多分高校で習っていると思います。

どのような値ですか？ということですが、
√－１は実数ではないので、たぶんイメージしているものとはちょいと違います。比で表すときも絶対値を取れば
（絶対値は単純に＋・－の符号を取るだけではなく、原点　からの距離です）１になります。
複素平面（ガウス平面）と考えると一発です。
これは縦軸を虚軸、横軸を実軸とすればどんな数
（３＋√－５などの複素数でも）平面上に表すことができます。
文章で長々と書いて説明するのは大変であまりわからないと思いますが、数学Ｂの参考書でも見ていただければ分かると思います。
何かあればまた、お願いします。

No.7 回答者： ymmasayan 回答日時： 2001/05/24 21:50

電磁気学（交流理論）でもやらないと、虚数や複素数はでてこないと思います。

公式を使ってルートの中が負になったという事は測定結果か前提条件に誤差（あるいは過ち）が有ると言うことだと思います。
虚数の事をあれこれ考えるより、これらをもう一度吟味された方がいいと思います。

No.6 回答者： good777 回答日時： 2001/05/24 20:09

§1.　-１をかけることは原点Oを中心に180度回転すること

実数はすべて数直線上の点に対応できます。
実数3に-1をかけると-3となり，その-3に-１をかけると3なります。
つまり，-1を掛け算するということは，原点Oを中心に180度回転することでした。
-1と1は，2次方程式　x＾2＝1　の2つの解です。

§２.　iをかけることは原点Oを中心に90度回転することです。
実数　3　に　iをかけると　3i　となり，
その　3i　に　iをかけると　-3　なり,
そのまた　-3i　に　iをかけると　3となります。
i,-1,-i,1 は　４次方程式　x＾4＝1　の４つの解です。

§3.　数学は空想
iや-iは数直線の周りの点ですから，そのまま，大小比較にはなじみません。

√－１と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから
「０」としていいのか？

それは，だめなのです。
iは虚数などといわれ、実数という数とは区別されますが，
実在する数に変わりはありません。

iの存在は，将来，電気磁気学などを学ぶとき
コイルやコンデンサの電流の計算で
大いに実感できると思います。

iってなんか不思議だな。
どうもしっくりこないな。
なんて言う新鮮な感覚はとても大切です。
「不思議だなあ。なんとなく不安だな。」
という感覚も忘れずに大切にしまっておいてください。
『数学って，なんか心に広がるイメージなのだ』
という感じがしてきますよね。数学詩なんて言うことばもあるくらいです。

-1を始めて習ったとき、
iを始めて習ったとき、
そういうときにはとくに
数学詩が，人の心にふと沸いてくるものです。

iって気になるよね。
アイとアイがかけ合わさってマイナスになる。
こんなに気になる。その胸騒ぎを逃がしてはならない。
なぜなら，
その胸騒ぎは，
君が数学の魅力を捕まえる密かな胎動なのだ。

今すぐ分らなくてもいい。
むしろ今すぐ完璧に分らない方がいい。
でも忘れずに心の中で温めているのがいい。
やがて、熟して，芳醇な香りを発するだろう。

分らなくてもよい。
そのわからなさを楽しんでほしい。
すると分ってくるよといいたいのです。
おじさんは。
すみません。酔っ払ってきました。
むにゃむにゃ。

No.5 回答者： puni2 回答日時： 2001/05/24 15:51

一般的な数学の話としては，iはあくまでもi，虚数はあくまでも虚数ですので，それ以上はどうしようもないでしょう。

iを勝手に0や1に直すわけにはいきません。

となると，ここから先はその公式そのものをどう解釈するか，という個別の問題になってきます。

公式によっては，ルートの中がマイナスになったときは，ルートの中を－１倍して計算し，最終結果を逆に評価する（換気の向きを反対に解釈する）などとしてやれば，意味のある結果になるのかもしれません。
あるいは，ルートの中がマイナスになったらそこから先は全く無意味な計算になるので，あっさりと「解なし」とすべきなのかもしれません。

公式自体がどんな式なのか，何から何を算出しようとしているのか，またそこに使われている変数の意味，など詳しく書いてあれば，どなたか詳しい方からの回答が得られるかもしれません。

No.4 回答者： suffer 回答日時： 2001/05/24 15:29

室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求めるって事は当然扱う数値は実

数ですね。その中で虚数が出て来たって事は，(計算が正しいとすると)いわゆ
る「解なし」って事なんじゃないですか？つまりそんな条件は存在しない，と。
2次方程式の解の公式でルートの中がマイナスになると「解なし」って中2くら
いで習いませんでしたっけ？

虚数は虚数，実数は実数，別物です。虚数を実数に直す？事なんて出来ません。
数値だけに注目して√－１がどうこうと言う前に，自分のやってる事(公式に
当てはめて計算するという事)の意味を考えてみて下さい。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
中学校の教室の中で問題集を解いているなら「解なし」と書いて正解かもしれませんけど、
実務ではそうはいかないんです。
今後ともよろしくお願いします。

お礼日時：2001/05/25 11:37

No.3 回答者： siegmund 回答日時： 2001/05/24 14:21

大きさの比較ができるのは実数値同士です．

複素数値そのままでは比較はできません

何らかの対応関係で，複素数値に実数値を対応づけるなら，
対応づけられた値での大きさの比較はできます．
ametsuchi さんが書かれているように，一番素直そうなのは絶対値でしょう．
あとは ametsuchi さんの言われるとおりです．
ただし，あくまでも絶対値を比較したということであって，
複素数値の大きさを比較したものではありません．

√-1 はｉで，どのような値と言われてもｉとしか言いようがありません．

なお，√i は
√i = (1/√2)+(1/√2)ｉ，-(1/√2)-(1/√2)ｉ
です．
実数の平方根に対しては，√記号が２つある平方根のどちらを表すかは
決まっていますが，
複素数の平方根に対してはそういう規定はありません．

ametsuchi さんのご注意のように，複素数と実数を区別して下さい．
ｉはｉで，なんとか実数にしようというあたりがどうも危険です．

No.2 回答者： kajuram 回答日時： 2001/05/24 14:09

大きさとは絶対値という意味なのでしょうね。

複素数の絶対値の求め方を知っていますか？
z=x+iy（x,yは実数、i=√-1）の絶対値は
|z|=√(x+iy)(x-iy)となります。
つまり、|i|=1ですね。
絶対値の比をとると言うことなら、１：１となります。

No.1 回答者： ametsuchi 回答日時： 2001/05/24 13:43

値とは何でしょうか？実数値のことですか？複素数値ならそのまま「ｉ」ですね。

・絶対値は＝１です。それ以外の実数値を対応させてもいいですが、絶対値がよく使われます。
・複素数の成分表示だと、（0,1）です。0 + 1*i としても同じです。
・複素平面だと、（0,1）のとおり90°の位置で、原点から１の距離に位置します。

（１）√１と√－１ではどちらが大きいのか？　比で表すと、何対何？
１：１です。

（２）√－１と言う値は、結果として影響を与える数字ではないから「０」としていいのか？

だめです。

（３）符号を消して「１」として扱うか？

上で述べたとおり、絶対値は１ですが...。


■複素数と実数を区別して下さい。

この回答へのお礼

速い回答ありがとうございます。
室内と室外の温度差を利用した自然換気量を求める公式に出てきて困っていました。
公式にそっくり温度をあてはめるとルートの中がマイナスになってしまうんです。
他の条件と比較しなくてはいけなかったので、マイナスで出てくると、大小関係が逆になってしまうし、虚数をどうやって実数に直すか、困っていたところでした。
今後ともよろしくお願いします。(^_^)

お礼日時：2001/05/24 14:24