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四角形ABCDの対辺長さ(AB,CD)とその対角線長さ(AD,BC)
がわかっているときその対角線の交差する角度を計算する方法を教えてください。

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A 回答 (3件)

No.1です。



ANo.1の補足の訂正をした場合

辺AB,CD,対角線AC,BDが指定された四角形ABCDについて

条件を満たす四角形ABCDを作図して添付します。
ABを基準に、半径は対角線AC,対角線BDの円弧1、円弧2を描くと、C,Dはそれぞれの円弧上に存在します。Dを円弧2上に1つ定めて、半径が対角線CDに等しい円弧3を描き、円弧1との交点をCとします。
Dは円弧2上に存在するので先のDとは異なる位置のD'に取れます。このD’から前と同様にして円弧1との交点C'を作図できます。それぞれの対角線の交点をP,P'とします。
すなわち、四角形ABCDと四角形ABC'D'は共に条件を満たす四角形ですが
対角線のなす角は常に∠APB=∠AP'Bとはなりません。

つまり、四角形ABCDの形状は一意に確定しません(異なる形状の四角形ABCDが何通りも作図できます。)
条件を満たす四角形ABCDの対角線の交点をPに対して、∠APB≠一定です。
つまり、条件を満たす異なる四角形ABCDについて対角線の交点Pは、同じ円弧上にない(円周角∠APBが同じではない)ので、∠APBは一定ではない。つまり∠APBは辺AB,BC,対角線AC,BDだけでは求まらないということです。
「四角形対角線交差角度」の回答画像3
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 四角形の辺・対角線のうち、4つの長さが分かっている。


そのパターンは以下の4通りになります。
a)四角形の各辺の長さ
b)四角形の一組の対辺と一組の対角線の長さ
c)ひとつの頂点から出ている2辺と一組の対角線の長さ
d)3辺とひとつの対角線の長さ

いずれにしても、それだけでは形が決まりません。
添付画像では黒実線と青破線の2つだけ示していますが、ある範囲内でいくつもできます。
従いまして対角線の交差する角度も一つの値にはなりません。
「四角形対角線交差角度」の回答画像2
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問題に対する質問



[1] 四角形は長方形ですか?
それとも一般の四角形ですか?

[2]
>四角形ABCD
とする場合は、頂点の名前の記号A,B,C,Dの割り振りは、反時計まわりにA→B→C→D→Aの順だと考えられますが、そうすると対角線はAC、BDになります。
>対角線長さ(AD,BC)
を優先するなら四角形ABDCと書くべきです。
正しい頂点の並び順と対角線を明記していただけないですか?
 四角形ABCD,対角線AC,BD
 四角形ABDC,対角線AD,BC
のどちらですか?

以上補足に訂正をお書きください。

この回答への補足

失礼しました。誤記があったようです。
ご指摘の件のとおり、質問修正します。

頂点左回りA,B,C,Dとした四角形(長方形、正方形ではない)で、辺AB、CDの長さと、対角線AC,BDが
わかっているときの対角線のなす角度を計算する方法を教えてください。

補足日時:2013/07/29 07:03
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この回答へのお礼

もやもやがすっきりしました。ありがとうございました。

お礼日時:2013/07/29 21:43

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Q四角形の対角線の角度の求め方を教えてくださ。

四角形ABCDのAB,BC,CD.DAの長さ及び対角線AC,BDが分かる場合の対角線の交わる角度を教えてください。簡単なようですが分かりません。

Aベストアンサー

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccosをとれば角度x[ラジアン]が求まります。
対角線の角度xの単位はラジアンですが、度数法にするには「180/π」をかけてやれば 度(°)の単位に変換できます。
もう1つの補角の角度yなら y=π-x[ラジアン]で求まります。度(°)単位であれば「180/π」を掛ければ変換できます。

対角線の交点をEとすると対角線の交わる角度は
∠BEC=∠AED=x, ∠AEB=∠CED=yです。
ここで x+y=π(=180°)です。

x=π-∠EBC-∠ECB
cos(x)=-cos(∠EBC+∠ECB)=sin(∠EBC)sin(∠ECB)-cos(∠EBC)cos(∠ECB) ...(※)
余弦定理より
cos(∠EBC)=cos(∠DBC)=(BC^2+BD^2-CD^2)/(2BC*BD)
cos(∠ECB)=cos(∠ACB)=(BC^2+AC^2-AB^2)/(2BC*AC)
sin(∠EBC)=√{1-(cos(∠EBC))^2}=√{4(BC*BD)^2-(BC^2+BD^2-CD^2)^2}/(2BC*BD)
sin(∠ECB)=√{1-(cos(∠ECB))^2}=√{4(BC*AC)^2-(BC^2+AC^2-AB^2)^2}/(2BC*AC)
この4つの三角関数を(※)に代入して arccos...続きを読む

Q対角線の交わる角度

こんばんは、よろしくお願いします。

AB=5,BC=5,CD=8,DA=3である四角形ABCDについて、

(1)cos∠BADを求めよ・・・-1/2
(2)BDを求めよ・・・7
(3)ACを求めよ・・・ 55/7
(4)四角形ABCDの面積を求めよ

(1)(2)(3)は何とか自力でできたのですが、(4)が分りません。

解説を見ると、四角形の面積をSとすると、

S=1/2(5*3+5*8)sin120

=55√3/4

と、あります。これは、四角形の面積の公式

対角線×対角線×対角線の交わる角度のsin×1/2を使っていると思うのですが、


対角線の交わる角度はどうして分るのでしょうか?

cos∠BAD=-1/2=120°と関係していますか?

宜しくお願いいたします。

Aベストアンサー

この四角形は内接四角形ですか?
AB=5,BC=5,CD=8,DA=3である四角形ABCD
という条件では、四角形は一つに決まらないと思います。正方形が菱形になるように。

内接四角形ということではなしを進めていきます。
四角形ABCDの面積=△ABD+△CBD
=(1/2)5*3sinA+(1/2)5*8sinC
=1/2(5*3+5*8)sin120
(A+C=180°より)

Q角度の問題です。合同な正方形を3つ横につないで長方形ABCDをかきます

角度の問題です。合同な正方形を3つ横につないで長方形ABCDをかきます。線BC間の3等分点をE,FとしDからB,E,Fへ直線をひきます。角DBC,角DEC,角DFCの和は何度になりますか。
絵を添付しましたが、正確にはかけていません。すみません。

Aベストアンサー

添付図で、
?BADと?EGDとは、両方とも直角三角形で、直角を成す角が1:3になっているので相似です。
よって、
∠ADB=∠GDE

∠DBC+∠DEC+∠DFC
=∠ADB+∠ADE+∠CDF
=∠GDE+∠ADE+∠CDF
=∠ADC=90°


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