微分積分のマクローリン展開でお願いします。

マクローリン展開を用いて、任意の角θにおける
sinθ,cosθ,tanθの近似値を計算するための
θの多項式を求めなさい。
但し、展開式はいづれもθの5次までの項の和の形として求め、
θの昇べき順に整理して表しなさい。
さらに、θ=π/4の場合について、
求めた多項式による三角関数の近似値と正確な値を比較して誤差を求め、
その誤差の真の値に対する比率（％）を求めて、
近似式の制度を検討しなさい。



その誤差の真の値に対する比率（％）を求める所が、
良く解らないのですが、
全体を通して解りやすくお願いします。

No.3 回答者： alice_44 回答日時： 2013/09/04 14:09

やれと言われたとおりに作業する。

考える部分は、何ひとつ無い。

sinθ, cosθ, tanθ のマクローリン展開を
それぞれ 5 次で打ちきって、近似式にする。
有限次までなので、微分についても特殊な処理はなく、
ただ 5 回繰り替えして微分すればいい。
マクローリン展開が何かを知っていれば、式が書ける。

例えば、f(Θ) = sinΘ の場合、
f'(Θ) = cosΘ,
f''(Θ) = -sinΘ,
f'''(Θ) = -cosΘ,
f^(4)(Θ) = sinΘ,
f^(5)(Θ) = cosΘ　なので、

マクローリン展開 f(Θ) = Σ[k=0→∞] {f^(k)(0) / k!} Θ^k を
5 次で打ちきると、
f(Θ) ≒ f(0) + f'(0)Θ + {f''(0)/2}Θ^2 + {f'''(0)/3!}Θ^3 + {f^(4)(0)/4!}Θ^4{f^(5)(0)/5!}Θ^5
= Θ - (1/6)Θ^3 + (1/120)Θ^5
右辺を = g(Θ) と置く。

θ = π/4の場合について、
求めた多項式による三角関数の近似値は g(π/4)、
誤差は g(π/4) - f(π/4)、
誤差の真の値に対する比率は { g(π/4) - f(π/4) } / f(π/4) で、
％表示なら、100 { g(π/4) - f(π/4) } / f(π/4) [%]。

sin(π/4) の値を知っていれば、これが π を含んだ式で書けるから、
適当な精度で π ≒ 3.1415926… を代入すれば、
相対誤差の近似値が求まる。

cosθ, tanθ についても、まったく同様。
自分で手を動かしてやってみること。
この手の問題は、参加することに意義がある。

No.2 回答者： spring135 回答日時： 2013/09/04 13:57

sinθ≒θ-θ^3/6+θ^5/120

θ=π/4

r=sinθ=√2/2＝0.7071068

a=θ-θ^3/6+θ^5/120=0.707143

誤差e=|a-r|=0.0000362

誤差の真の値に対する比率（％）=0.0000513


cosθ≒1-θ^2/2+θ^4/24

θ=π/4

r=cosθ=√2/2＝0.7071068

a=1-θ^2/2+θ^4/24=0.7074292

誤差e=|a-r|=0.000322

誤差の真の値に対する比率（％）=0.000456


tanθ≒θ+θ^3/3+2θ^5/15

θ=π/4

r=tanθ=1

a=θ+θ^3/3+2θ^5/15=0.9867355

誤差e=|a-r|=0.0133

誤差の真の値に対する比率（％）=0.0133


久しぶりに見たいい問題ですね。

数値計算の醍醐味を堪能してください。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2013/09/04 11:34

「その誤差の真の値に対する比率（％）を求める所が、良く解らない」

ってのは, どういうことでしょうか?

誤差は計算できますよね? 真の値は分かりますよね? 「比率」の意味は理解できてますよね?

何がどう「良く解らない」のですか?