数学の質問です

数学の質問原点をOとする座標平面上に△OABがあり、点Aの座標は
(1,0)で点Bのx座標はt(t＞0)である。

辺OBを1:4に内分する点をPとする。
このとき辺OA(両端を含む）上にAB=5PQを満たす点Qが
ちょうど2つ取れるようなtの値の範囲はいくらでしょうか。

No.2 ベストアンサー 回答者： queswer93 回答日時： 2013/10/09 02:42

ikuzecia1918さん、こんばんは。

答えが正しいか不安ですが、一応解いてみます。

ポイントは、「点Pが辺OBを1:4に内分する」と「辺OA上の点QがAB=5PQを満たす」の２条件を、
「OP:OB=1:5」「PQ:BA=1:5」と読み替えて、「なんとなく相似っぽいなあ」と思えるかにありそうです。

まず、辺OA上に、OR:OA=1:5となる点Rをとります。
点Rの座標は(1/5,0)となります。
すると、⊿ORPと⊿OABは相似であり（∵2辺の比と間の角が等しい）、相似比は1:5なので
RP:AB=1:5となります。
従って、tがいかなる値のときも、点R(1/5,0)は点Qの候補の一つであることがわかります。

次に、点Qがx軸上に（辺OAの外側も含めて）2点存在するための条件について考えます。
この場合の点Qを点Q'とすると（∵辺OA上にない場合も含むため）、
点Q'が1つしか存在しない（点Rのみ）場合とは、PR⊥OAのときとなります。
これは、例えば点Pを中心として半径1/5×ABとなる円弧をx軸に向かって描いた場合を想像すると、
円弧と直線の交点は最大数2、最小数0であり、
交点が1つになるのは直線（x軸）が円弧と接する場合であることから理解できると思います。
このとき、相似の関係からAB⊥OAであり、従ってt=1のときに点Q'は1つしか存在しないことがわかります。
すなわち、t≠1のとき、点Q'は2つ存在することになります。

そこで今度は、辺OA上に点Qが2つ存在するための条件について考えます。
t>1のときとt<1のときで図の形が変わってくるため、場合分けします。
ここで準備作業として、2つ存在する点Q'をQ1(q1,0),Q2(q2,0) (ただしq1<q2)と表すことにします。
また、点Bのx座標がtなので、点Pのx座標はt/5です。
（∵点Bおよび点Pからx軸に垂線を下ろしてできる2つの直角三角形について、
相似であることと相似比がOP:OB=1:5であることから）
そして、点Rからx軸に下ろした垂線とx軸との交点を点H(t/5,0)とおくと、
点Q1と点Q2の関係は、点Hから等距離にあるx軸上の2点であることがわかります。
（∵PQ1=PQ2より、2つの直角三角形PHQ1とPHQ2は合同だから）

（１）t>1の場合
t/5>1/5より、点Rは点Q1の方であることがわかります。
そこで、点Q2が辺OA上にあるようなtの値を求めればよいことになります。
点Q2のx座標の値q2は、点R、点H、点Q2の関係を用いて
t/5-1/5=q2-t/5⇔q2=(2t-1)/5
そして、点q2が点Aよりも左側にあればよいので
q2=(2t-1)/5≦1⇔t≦3
∴1<t≦3

（２）0<t<1の場合
t/5<1/5より、点Rは点Q2の方であり、点Q1のx座標の値q1は点R、点H、点Q1の関係を用いて
t/5-q1=1/5-t/5⇔q1=(2t-1)/5
そして、点q1が原点Oよりも右側にあればよいので
q1≧0⇔t≧1/2
∴1/2≦t<1

以上より、
1/2≦t≦3(ただしt≠1)
となると思います。

間違ってたらすみません。

No.4 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/09 15:19

あ、ホントだ。

√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5)2乗+(u/5)2乗)
から
(t-1)2乗 ≦ t2乗
が出て、
t ≧ 1/2
もついてくるんだった。

No.3 回答者： queswer93 回答日時： 2013/10/09 02:53

No.2です。

誤植の訂正です。
6段落目の「そして、点Rから…交点を点H(t/5,0)とおくと、」の「点R」は
「点P」の誤りです。

申し訳ありません。

No.1 回答者： alice_44 回答日時： 2013/10/09 01:42

問題の条件は、

P から x軸へ降ろした垂線の足を H として、
AB ＞ 5PH,
AB ≦ 5PO,
AB ≦ 5PA
であること。
B の座標を (t,u) と置けば、
√((t-1)2乗+u2乗) ＞ 5(u/5),
√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5)2乗+(u/5)2乗),
√((t-1)2乗+u2乗) ≦ 5√((t/5-1)2乗+(u/5)2乗)
と書ける。
展開整理すると、
(t-1)2乗 ＞ 0,
(t-1)2乗 ≦ (t-5)2乗
となるから、
t ≦ 3 かつ t ≠ 1 が答え。