今、楕円の最小二乗法のプログラムを書いているのですが、正規化条件の扱いがよくわかりません。
単純に
u = (A B C D E F) (1)
ξ = (x^ 2 2xy y^2 2x 2y 1) (2)
で、
行列 M = (1 / N ) Σ ξ・ξt (3) ξt:ξの転値 N:Σの数
の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用するという計算をしているのですが、放物線になってしまいました。
標準的には
A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 (4)
が正規化条件として使われる、とあるのですが、これをどう扱っていいかわからないのです。
この論文を参考にしています
http://www.iim.cs.tut.ac.jp/~kanatani/papers/new …
A 回答 (4件)
- 最新から表示
- 回答順に表示
No.4
- 回答日時:
「(N^-1)Mu = λu の最小固有値に対する固有ベクトルを求めれば良いのでしょうか?」
N が正則行列(逆行列を持つ行列)と限らないので、(N^(-1))Mu = λu という形への変形は不可能と考えるべきでしょう。引用論文の 2 ページに (3) から (8) まで 6 種類の正規化の例が挙げられていますが、 (5) を除く 5 種類では、 N が非正則行列(逆行列を持たない行列)になります。ANo.3 の N も非正則行列です。
それより、次のようにして普通の固有値の計算に帰着させることができます。まず、M が正則行列であることを仮定します。観測データには誤差が付きものですが、観測データに誤差があれば、M は必ず正則行列になります。
すると、引用論文 2 ページの (15) 式 Mu = λNu は、
M^(-1)N u = (1/λ)u
と変形できます。そこで、行列 M^(-1)N の絶対値最大の固有値に対応する固有ベクトルを計算すれば、それが u になるのです。
なお、1/λ は、M^(-1)N の固有値です。もともと絶対値が最小のλを求めることになっていたので、その逆数である 1/λ に関しては、絶対値が最大のものを求めることになります。
No.3
- 回答日時:
「(8)式を条件とした場合、重み行列Nはどうなるのでしょうか?」
添付図の通り。このNが (A B C D E F)N(A B C D E F)^t = AC – B^2 を満たす対称行列であることを確認してください。((A B C D E F)^t は、(A B C D E F) の転置)
この回答への補足
ありがとうございます。
重み行列を使う場合は、
Mu = λNu (15)
の最小固有値に対する固有ベクトルを求める、とのことですので
(N^-1)Mu = λu
の最小固有値に対する固有ベクトルを求めれば良いのでしょうか?
No.2
- 回答日時:
「M の最小固有値に対する固有ベクトルをuとして採用する」という方法では、
Ax^2+2Bxy+Cy^2+2(Dx+Ey)+F=0
で表される曲線が楕円であるという条件、すなわち、Ax^2+2Bxy+Cy^2 の部分が正定値2次形式であるという条件、さらに言い換えれば、AC-B^2>0 であるという条件を、どこにも使っていません。だから、推計結果が放物線や双曲線になっても何の不思議もありません。
A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1
の条件の代わりに、引用論文の(8)式
AC-B^2 = 1
を条件とすれば、楕円だけが推計されます。
なお、A^2 + B^2 + C^2 + D^2 + E^2 + F^2 = 1 をどう扱っていいか分からない、ということですが、これは、引用論文の「重み行列N」を単位行列にする、ということです。ご質問の計算は、まさに、N を単位行列にとしておられます。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
おすすめ情報
- ・漫画をレンタルでお得に読める!
- ・14歳の自分に衝撃の事実を告げてください
- ・架空の映画のネタバレレビュー
- ・「お昼の放送」の思い出
- ・昨日見た夢を教えて下さい
- ・ちょっと先の未来クイズ第4問
- ・【大喜利】【投稿~10/21(月)】買ったばかりの自転車を分解してひと言
- ・メモのコツを教えてください!
- ・CDの保有枚数を教えてください
- ・ホテルを選ぶとき、これだけは譲れない条件TOP3は?
- ・家・車以外で、人生で一番奮発した買い物
- ・人生最悪の忘れ物
- ・【コナン30周年】嘘でしょ!?と思った○○周年を教えて【ハルヒ20周年】
- ・ハマっている「お菓子」を教えて!
- ・最近、いつ泣きましたか?
- ・夏が終わったと感じる瞬間って、どんな時?
- ・10秒目をつむったら…
- ・人生のプチ美学を教えてください!!
- ・あなたの習慣について教えてください!!
- ・牛、豚、鶏、どれか一つ食べられなくなるとしたら?
- ・都道府県穴埋めゲーム
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
固有値の値について
-
3x3行列の固有値の求め方
-
行列の2分の1乗の計算の仕方
-
極値の判定でヘッシアンの値が...
-
固有ベクトルが複数の場合
-
線形代数 同時対角化について
-
行列の問題
-
固有値が複素数のときの固有ベ...
-
固有値が複素数になるときの幾...
-
A・B=B・AならばAの固有...
-
線形代数 行列 対角化
-
線形代数:2次形式の標準形につ...
-
主成分分析について
-
線形代数 行列
-
固有値・行列の疑問
-
この行列の固有ベクトルを求め...
-
線形代数 A= 2 -1 1 ( 0 0 2 ) ...
-
パソコンで行列はどう書けばいい?
-
cos{θ-(3π/2)}が-sinθになるの...
-
日本数学オリンピック2000年予...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
固有値の値について
-
3x3行列の固有値の求め方
-
行列の2分の1乗の計算の仕方
-
行列の積の固有値
-
ヘッセ行列の固有値について
-
固有ベクトルが複数の場合
-
極値の判定でヘッシアンの値が...
-
この行列の固有値が全て実数と...
-
固有値が複素数のときの固有ベ...
-
行列A^2の固有値は、Aの各固有...
-
固有値が複素数になるときの幾...
-
A・B=B・AならばAの固有...
-
ジョルダン標準形ってなんのため?
-
行列の固有値
-
数学 固有値が出ない 画像の固...
-
行列A^2からAを求める方法について
-
臨界点でHessianが0の時の極値...
-
行列式の漸化式からの解の出し方
-
スペクトル分解の一意性の証明...
-
正定値行列は正則行列
おすすめ情報