レンズによる結像

こんばんは。
高校物理で少し気になったことがあるので質問します。（とはいっても中学レベルですが・・・(^_^;)）
レンズによる実像や虚像の作図をするとき、

(1)光軸に平行な光
(2)レンズの中心をとおる光
(3)レンズの手前の焦点をとおる光

の交点を求めて作図します。いつも書いていてふと思ったのですが、この三本はなぜ常に一点で交わるといえるのでしょうか？確かに像というものは実在しているわけですし、実際作図をしても一点で交わるので、このような事実があるということはわかるのですが、それがなぜなのかイマイチわからず、少し気持ち悪い感じがします。

おそらく、幾何的な数学の質問に帰着してしまいそうな気がするのですが、どなたか常に一点で交わるのだということを証明してくださらないでしょうか。

No.3 ベストアンサー 回答者： spring135 回答日時： 2013/10/20 22:40

いい質問です。

図のような幾何学的な考察を行うと(1)と(2)の交点はレンズの公式

1/a+1/b=1/f　　　　(1)

(a:実物とレンズ(厚さ＝０とする）の距離、b:像とレンズの距離、ｆ：レンズの焦点距離）

を満たす点で交差します。

図に座標をとって解析的な計算をしてもいいし、いわゆる合同とか相似とか使う幾何学でもいいですから

計算すると面白いですよ。

すぐわかるように(1),(2)についてみると実物の高さｈ（上向き矢印の長さ）と像の高さ（下向き矢印の長さ）Hの間には

h/a=H/b

が成り立ちます。実物をレンズ面に平行移動して考えても同じ結果が得られます。

(1)を使うと

H=fh/(a-f)

(2),(3)についてみると実物の高さｈ（上向き矢印の長さ）と像の高さ（下向き矢印の長さ）H'の間には

h/(a-f)=H'/f

H'=fh/(a-f)

これは像H'をレンズ面に持ってくるとわかりやすいでしょう。

ゆえにH=H'

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど！確かにそうすればH=H'という結果を得ることができますね！
よく考えたら本当に中学レベルの数学の証明の話でした(・。・;

お礼日時：2013/10/21 20:12

No.8 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/10/21 18:36

「収差」は無く、レンズ半径も「ろうそく」より大、と想定して (1) ～ (3) の光直線を描いているようですネ。

ならば、レンズの左右の図形は、算数でいう「相似形」となりそうです。

　　　

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
はい！みなさんに回答していただいたおかげで証明することができました。

お礼日時：2013/10/21 20:28

No.7 回答者： foobar 回答日時： 2013/10/21 15:51

「（理想的な）結像光学系では、一点から出た光が一点で集まるという点の対が（無数に）存在する」、という大前提を置いているからかと思います。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
そうですね、やはり理想的な条件というのがポイントのようですね。

お礼日時：2013/10/21 20:27

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/21 10:41

ロウソクと象のレンズからの距離をL,l、光軸

からの距離をR,r、焦点距離をFとすると
(1)と(2)から
r=FR/(L-F)
が幾何学に簡単に得られます。
#R:L=r:l、R:F=r:l-F を使います。
これは(3)で得られる関係 r:F=R:L-F
と同じなので、三本の光線は
一点で交わります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
なるほど、かなりスッキリとわかりました！
すみません、幾何的証明の方はもう前の方に書いていただいたためベストアンサーは前の方につけさせていただきます。

お礼日時：2013/10/21 20:26

No.5 回答者： shintaro-2 回答日時： 2013/10/21 07:25

まず、第1にレンズとはそういうものであるから

次に、添付していただいたような図だと誤解しやすいのですが、

その図は、上向矢印（ろうそく）の先端部分がどこに結像するかのみを示した図です。
結像を議論するのであれば、ろうそくのありとあらゆる部分で光線の行方を描かなければなりません

安易に先端のみの結像部分を求めて光軸に垂線を下ろしてしまいがちですが、せめて先端・中間・下端について光線の行方を描くべきでしょう。

実際のレンズで描くと、結像面がずれたりしてザイデルの収差等がわかるようになります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ザイテルの収差については少し調べてみようと思います。

お礼日時：2013/10/21 20:23

No.4 回答者： tance 回答日時： 2013/10/21 04:10

良い質問です。

不思議に思うのも無理はありません。実際はレンズを通るどの光線も１点には交わらないのが本当の姿なのです。
図をごらんください。これは光学シミュレータでテキトウな凸レンズを想定して点光源から出た光線の通り道を計算したものです。見て解るように全然１点で交わっていません。

これをレンズの収差と言います。収差にもいろいろあってレンズ設計をする人はみな苦労しています。

さて、では何故学校ではウソを教えるのでしょうか。それは、もっと薄いレンズを使い、光軸のごく近くだけを見ると、１点と言っても良いくらい収差が少なくなるからです。学校ではこのようなケースだけを扱っています。

そして、レンズを設計する人はこのような収差が目立たなくなるようにいろいろ工夫しています。レンズの善し悪しはこの工夫がうまくいったかどうかで決まります。そのために屈折率の違う何種類ものガラスを使ったり、凸レンズと凹レンズを組み合わせたりして大変複雑なレンズとなっているのが現状です。

携帯カメラのレンズなど、シンプルなものはそのような補正をする余地がないので（主にレンズの長さに制限がある）最後の手段として、レンズの表面の曲率を場所によって変えて収差が出にくいようにしています。これを非球面レンズと言います。

そもそも、レンズはガラスを削ってみがいて作ります。その際、球面が圧倒的に作りやすいので、レンズと言えば球面レンズを指すことになっています。でも光線が１点に集まるために必要なガラス面の形状は球面ではないのです。

プラスチックレンズがうまく作れるようになってから非球面レンズはよく使われるようになりました。（ガラスの非球面レンズもあります）そして、非球面レンズにすれば完璧かと言うと、残念ながらそうではなく、数ある収差のうちいくつかが改善されるにすぎません。（ザイデルの５収差　で検索！）

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはり現実世界ではズレは発生しますよね。高校などの初等物理ではそのようなズレを無視して理想的な条件で行っているから、一点で交わるのですね！
図まで載せていただき、ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/21 20:16

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/10/20 22:34

身も蓋もない言い方をしてしまえば、そのような性質を持っているものをレンズと呼んでいるからです。

証明というと少し面倒な作図が必要になるので、このあたりを参照してください。
http://www.kusastro.kyoto-u.ac.jp/~iwamuro/LECTU …

近軸光線ならこれで問題ないですが、現実のレンズではレンズの中心付近を通る光線とレンズの周辺を通る光線で焦点の位置がわずかにズレるので少しボケます。なので、像をはっきりさせるためには絞りを入れて光線をしぼります。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
教えてくださったサイトは少し難しかったです・・・(^_^;)

お礼日時：2013/10/21 20:07

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/10/20 21:35

光路は逆方向に進んでも同じでなければならないからです。

上側の線を逆にたどると、それは下の線をたどるのとまったく同じですよ。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
確かにそうですね。もう少し考えてみます。

お礼日時：2013/10/21 19:59