べき乗の定義は負の整数へと拡張できるのか

べき乗の定義は
(1) a^1 = a
(2) a^(p+1) = a^p * a ただし p は正の整数
となります。

この定義が、このまま負の整数へと拡張できるかどうかを考えてみました。

p=0 へと拡張するならば、
(A) a = a^0 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^0=1 となり a=0 なら 0^0 はどんな値も許され、0^0 は「不定」と言われます。
いずれにせよ、(1)(2)が成立するように a^0 の値を選ぶことができます。

p=-1 へと拡張するならば、さらに
(B) a^0 = a^-1 * a
という式が加わります。
a≠0 であれば a^-1=1/a となり a=0 なら 0^0=0 とした上で 0^-1 はどんな値も許されます。

さらに続けていくと、
(3) a^0 = 1 ただし a≠0
(4) a^(-p) = 1/(a^p) ただし a≠0, p は整数
(5) 0^(-p) = 0 ただし p は整数
という式が成立するように値を選ぶなら、べき乗の定義を負の整数へと拡張できることが分かります。

ところが、これでは 0^0=0 と確定してしまい、未定義になってくれません。
そこで、「不定」という概念を生かせないか考えてみます。

0^0 を「不定」であるとしておくなら、(B)は a=0 を代入して
(C) 0^0 = 0^-1 * 0
であり、0^-1 もまた「不定」と解釈することができます。

ところが、「不定」と 0 との積がどうなるかを決定することができません。
この積を 0 と仮定するなら、0^0=0 ですし、「不定」と仮定すれば、(A) が成立しません。

どうすれば、0^0 が「不定」であることを、数学的に証明できるのでしょうか？

No.8 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/28 21:01

>0^0=0, 0^-1=0, ...

>という解は(1)(2)の式を満たすことは証明できてると思うのですが、
>その部分に間違いはありますか？

はい、pの範囲を拡張し、その「定義」を追加すれば
それは(1),(2)を満たします。
代入してみれば明らかです。

この回答へのお礼

pの範囲を負の整数を含むように拡張し、それが(1)(2)を満たすなら、
0^0=0 であるということでいいですね？
それ以外に考えられますか？

もし、0^-1 が「不定」とか「不能」とかいう訳の分からないものだったとしても、
(2)を２回使えば
0^1 = 0^-1 * 0 * 0 = 0
が成立することが分かります。
結合法則が成り立つのなら、(C)の計算結果が 0^0=0 であるのは明らかです。
よって、「不能」とかの概念を持ち出してきても、別の解を示すことは困難でしょう。

ちなみに、今回の質問が、0^0 が「不定」であることを示すこと、であるのは憶えていますか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 22:02

No.7 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/28 17:37

>0^-1 は実数でない、不定でもないとすると、どんな値なのですか？

普通のべき乗の定義では「不能」だと思います。解がひとつもないということ。
高校の教科書では 0・x=1 の解で説明されてます。

単に未定義でも同じ意味でしょう。

この回答へのお礼

0^0=0, 0^-1=0, ...
という解は(1)(2)の式を満たすことは証明できてると思うのですが、
その部分に間違いはありますか？

「不能」というのが「解がひとつもない」ことだとすると、それは否定したつもりなのですが。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 17:57

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/28 16:32

>質問の最後の方には「不定」という、何らかの値を持たない場合も想定して、

>それでどうなるか示しています。

不定というのは解が有限個ではなく、無限個あるということです。
値を持たない場合というのとは全く異なります。

a = b * 0 で b が不定 なら a = 0 です。

つまり (B) で 0^(-1) を不定と仮定すれば 0^0 = 0 で　0^0 は不定には絶対なりません。

もちろん一般的なべき乗の定義では、0^(-1) は不定ではないので、どういう結論がでようと
それは 0^0 の一般的な議論とは無関係です。

この回答へのお礼

0^-1 は実数でない、不定でもないとすると、どんな値なのですか？

べき乗の定義から 0^-1 が何であるか結論が出るのであれば、それを示してください。
それが示せないのであれば、無関係という断定も受け入れられません。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 16:49

No.5 回答者： chie65535 回答日時： 2013/10/28 14:48

＞何故未定義だとされているのでしょうか？

wikiに書いてある通り「こっちを立てるとあっちが立たず、あっちを立てるとこっちが立たず」になり、どちらか片方で不都合が出るからです。

簡単にいうと「定義しちゃうと、どこかで矛盾が起きちゃうから、定義しない事にしよう」って事です。

数学ってのは「お約束の集まり」ですから「みんなが困らないように、未定義だとお約束しましょうね」っていうお約束をしただけです。

「お約束」ですから「そんなお約束なんか知らん」と無視する事もできますよ（無視したら、他の「お約束をしている人達」から「お約束くらい守れ。守らないと数学にならん」と批難されますけどね）

この回答へのお礼

> 簡単にいうと「定義しちゃうと、どこかで矛盾が起きちゃうから、定義しない事にしよう」って事です。

0^0=0 としても(1)(2)に問題が起こらないのは分かるのですが、
0^0=1 であると(B)を成立させるためには0^-1が実数でないとしなければなりません。
＃実際には、実数でないとしても、積が１になるとは思えません。

そういう仮定には問題があると思うのですが。
どう考えれば、0^0=1 であると思えるのですか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 15:51

No.4 回答者： Mathmi 回答日時： 2013/10/28 14:48

これは回答ではありません。

参考の為、この方の前回の同系統の質問へのリンクを張っておきます。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8318554.html

検索したら、同質問者名で0^0に関する質問が以前にありました。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/4469777.html

この回答へのお礼

ご親切にどうも。

この質問は、前回の＃１７の回答に対するお礼欄に記述した

> これが成立しないと、0^-1=0 となってしまうようなものなのですが、

という考えを記述したものです。

でも、間違えないで欲しいのですが、それぞれの質問は独立しています。
別の質問でのことを持ちださないでください。
今回の質問で答えて欲しいのは、質問文の内容にあることがすべてです。

また、私自身は 0^0=1 と考えてますが、この質問によってその考えを広めようという意図はありません。
その上で、質問する自由くらいは与えて欲しいものです。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 15:14

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/10/28 14:30

0の0乗は不定ではなく「定義されない」です。

不定とは定まらない--どの数字でも成り立つことで、0と指定しているので矛盾します。
　数学は、日本語が正確に扱えないと困りますよ。

x^{a+b}=x^{a}×x^{b}
の時点で、a,bの正負は関係ありません。
a⁽³⁻³)= a³×a⁻³ = a³×(1/a⁻³) = a³/a⁻³ = 1

　⇒0の0乗 - Wikipedia( http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97 )
　⇒指数の拡張と指数法則( http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E4%B9%97# … )

この回答へのお礼

０の０乗の説明では、べき乗の定義が正の整数以外でも成立するようにしてやると、
「0^0 が定められない」ということになっているのではなかったかな？
つまり、私が質問文で示した考え方はどこかで間違っている筈で、それが何かと訊いています。

指数法則は底が０では使えない筈ですので、今回の話には無関係かと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 14:57

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/10/28 14:05

＞質問の前半部分からは、べき乗の定義を整数へと拡張すると必然的に

＞0^0=0 であるように思えますが、
＞何故未定義だとされているのでしょうか？

これは (B) で 0^(-1) がなんらかの値を持つことを仮定してます。
一般的なべき乗の定義とは異なりますので、
結論が違っていても不思議ではありません。

この回答へのお礼

質問の最後の方には「不定」という、何らかの値を持たない場合も想定して、それでどうなるか示しています。
「何らかの値を持つ」という仮定だけで結論を出している訳ではありません。

ただ、想定というのはこれに限らないと思いますので、
どういった想定ならば、べき乗の定義を満たすのか、
それについて、お答えいただければと思います。

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 14:42

No.1 回答者： chie65535 回答日時： 2013/10/28 12:07

＞どうすれば、0^0 が「不定」であることを、数学的に証明できるのでしょうか？

証明できない。

一般的には、0^0は「未定義」って事になっている。

ここで注意して欲しいのは「不定と未定義は違う」と言う事。

「不定」ってのは「不定と定義した」のであるから「未定義」ではない。

詳しくは以下参照、
http://ja.wikipedia.org/wiki/0%E3%81%AE0%E4%B9%97

この回答へのお礼

では、聞き方を変えます。

質問の前半部分からは、べき乗の定義を整数へと拡張すると必然的に 0^0=0 であるように思えますが、
何故未定義だとされているのでしょうか？

回答ありがとうございました。

お礼日時：2013/10/28 13:08