(e^x)^i と （e^i)^x は同じもの？

全くわからないのですが、考えるヒントをいただければ幸いです。

No.6 ベストアンサー 回答者： berokanda 回答日時： 2013/12/09 15:29

複素べきで考えると

(e^x)^i
=exp{ilog(e^x)}
=exp{i(log|e^x|+iarg(e^x)}
=exp{i(x+i(2nπ))}
=exp(-2nπ+ix)
（nは整数）

(e^i)^x
=exp{xlog(e^i)}
=exp{x(log|e^i|+iarg(e^i)}
=exp{x(0+i(1+2mπ))}
=exp(ix(1+2mπ))
（mは整数）

となります。

直接「答え」を求めようとせず参考URLの3.4、3.5
あたりをご覧になることをお勧めします。

参考URL：http://fujimac.t.u-tokyo.ac.jp/fujiwara/Mathemat …

この回答へのお礼

勉強したいと思っております。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/09 18:26

No.7 回答者： ramayana 回答日時： 2013/12/11 20:20

そうですね、ANo.6さんのとおり、(e^x)^i　と　（e^i)^x　は、枝全体が一致するわけでないので、完全に等しいとは言えなそうです。

この回答へのお礼

枝という概念があるこも全く知らなかったのですが、少しでもわかるように勉強したいと思います。サイドの御教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/12 03:08

No.5 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/08 20:58

ANo.1 です。

>右辺も左辺もどんなものかイメージが全くわかないのですが、同じものなのですね。

複素指数関数でも「指数法則」が成立するなら、(e^x)^i = e^(xi) だろう、ということ。

ANo.3 さんのコメントの記法なら、お判りでしょう。

　　

この回答へのお礼

指数法則から勉強をしてみます。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/09 03:37

No.4 回答者： ramayana 回答日時： 2013/12/08 20:56

「オイラーの公式をガウス空間に表示した場合でも意味が同じということになるのでしょうか。

」

「オイラーの公式をガウス空間に表示」というのがどういう状況を指しているのかピンとこないので、期待される答かどうか分かりませんけど。次の式は、x が虚数でも成立します。

　　exp(ix) = cos(x) + isin(x)

この回答へのお礼

勉強させていただきます。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/09 03:35

No.3 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2013/12/08 17:01

指数法則からも同じ

(x^a)^b = x^(a*b) = x^(b*a) = (x^b)^a

この回答へのお礼

指数法則に従うのですね。ご教示ありがとうございます。

お礼日時：2013/12/08 20:07

No.2 回答者： ramayana 回答日時： 2013/12/08 16:44

累乗をどう定義するかによりますが、同じと考えていいのでは。

αを0以外の複素数、βを複素数として、α^βを

　　α^β = exp(βlog(α))

で定義することにします。すると、(e^x)^i　と（e^i)^x　は、どちらもxの多価関数になりますが、枝（branch）全体が一致するという意味で、同じ関数とみなすことができます。

この回答へのお礼

ご教示どうもありがとうございます。オイラーの公式をガウス空間に表示した場合でも意味が同じということになるのでしょうか。

お礼日時：2013/12/08 20:06

No.1 回答者： 178-tall 回答日時： 2013/12/08 16:18

(e^x)^i = e^(xi)

(e^i)^x = e^(ix)

…が成り立つだろうと考えれば、「同じもの」に見えますけど？

　　

この回答への補足

お礼欄の誤植お詫び申し上げます。

補足日時：2013/12/08 20:10

この回答へのお礼

ｇ教示相賀とうございます。右辺も左辺もどんなものかイメージが全くわかないのですが、同じものなのですね。

お礼日時：2013/12/08 20:09