「比」の正確な定義

普段何気なく使っている「比」の正確な定義について調べてみたのですが
まったく見つけられませんでした。

「比（ひ）とは2つ（または3つ以上）の数の関係を表したもの」
といった記述がありましたが、曖昧でこれで定義できたとは到底言えません
比が持つ性質についても説明できていませんし
数のどの範囲で定義するかも説明されていません

「aとbは０でない実数とする　aとbの比　とは　a/bのことである。　a:bと書く」
こういった記述も良く見ます。これは↑の定義よりは遥かに優れていると思います
比の等式の　
a:b＝ka:kb は真である
a:b=c:d　⇔ a/b=c/d　⇔　ad=bc
といった振る舞いも説明できますし
数のどの範囲で定義されるかも明記されています。

しかしa:bという表記の他に
a:b:cやa:b:c=x:y:zといった表記が存在しますよね？
この定義はその表記を説明できません。
よって実用上ですら完全であるとは言えません。

比の正しい定義と、定義する数の範囲について教えてください

No.1 ベストアンサー 回答者： f272 回答日時： 2014/01/08 16:46

a:b:c = { (a0,b0,c0) | (a0,b0,c0)~(a,b,c) }

というように同値類として定義するのでどうだろう。
ただし(a0,b0,c0)~(a,b,c)とはa0=ka，b0=kb，c0=kcとなるkが存在すること。
定義する数の範囲としては，「aとbは０でない実数とする」と同じように，０でない実数の組を考えればよいだろう。

この回答へのお礼

回答ありがとうございます！
なるほど、そうやるとうまく定義できそうですね
ただ、自分は同値関係や演算子の取り扱いに習熟していないので
今から良く考えて見ます。

お礼日時：2014/01/08 17:17

No.4 回答者： berokanda 回答日時： 2014/01/08 19:20

#3の記述でn次元ユークリッド空間から

原点を除いておいてください。

No.3 回答者： berokanda 回答日時： 2014/01/08 19:17

定義なんて好きに設定していいと思います。

正しいのはなにかなんて考えだすと数学では
なくて哲学になってしまいます。こう定義したら
こんな結論が出るよ、ああ定義したらあんな
結論が出るよという感じでいいのでは？

例えば気取った言い方として、n個の数の組の
比とは、n次元ユークリッド空間からn-1次元
射影空間への標準写像のこととする
とか。

n≧3のときは比より連比と呼ぶ方が好まれる
かもしれません。

No.2 回答者： chie65535 回答日時： 2014/01/08 16:56

＞０でない実数とする

これも「不完全」ですよね。

「交通事故の過失割合」ってのも「２０：８０」など「比」で表されます。

「交通事故の過失割合」には「０：１００」とか「１００：０」とか、片方に過失が無い場合もあって、その場合「０でない実数」じゃダメです。

＞しかしa:bという表記の他に
＞a:b:cやa:b:c=x:y:zといった表記が存在しますよね？
＞この定義はその表記を説明できません。

３つ、４つ、５つと、どんどん増やせるし、増やせる個数に制限は無いから、最大個数は「無限大」です。

＞比の正しい定義と、定義する数の範囲について教えてください

範囲は「２個～∞個」です。

なので「貴方の論法で言うところの、比の正しい定義」を定義するのは不可能です。

「貴方の論法で言うところの、比の正しい定義」を定義しようと思ったら「２個の場合、３個の場合、４個の場合……」と、どんどん定義を増やしていって、無限に定義範囲を増やして行かねばなりません。

「終わり無く無限に定義を増やし続ける」と「定義がいつまでたっても完了しない」です。

「定義がいつまでたっても完了しない」のは、事実上「定義をするのが不可能」と同じ意味です。

この回答へのお礼

完全に誤解なされています
こう言ってはなんですが
誰かの質問に答えるときには
もう少し良く質問文を読んでから御回答なされたほうがよろしいと思います。

お礼日時：2014/01/08 17:03