極限の値（e含む）が求められません。

次の式が成り立つことを証明していただきたいです。（どんな手法を使っても構いません。）

lim[x→0]{(e^x-e^(-x))/2x}=1

★補足

これはeの極限の定義式を使って求められるのでしょうか？
それとも、別の定理があったらご教授いただきたいです。

No.6 ベストアンサー 回答者： naniwacchi 回答日時： 2014/01/15 18:11

e^xは 1に収束するのだから・・・って論法で。

まず、e^xをくくりだして
　{ e^x- e^(-x) }/(2x)＝ e^x* { 1- e^(-2x) }/(2x)

ここで一度 e^(-2x)＝ tとおくと、2x＝ -log(t)であり、
x→ 0のとき t→ 1となって
　{ 1- e^(-2x) }/(2x)
　＝ (1- t)/{ -log(t) }
　＝ 1/{ log( t^(1/(t-1)) ) }
　※ちょっと見づらいですが、分母に固めています。

分母だけに注目して、さらに t-1＝ uとおけば u→ 0であり
　(分母)＝ log( (1+u)^1/u )→ log(e)＝ 1

結果、{ 1- e^(-2x) }/(2x)→ 1となるので、全体の値も 1に収束します。

この回答への補足

どうやら、こちらが他の微分公式の証明にも使えそうなのでBAにさせていただきます。

補足日時：2014/01/18 07:43

この回答へのお礼

かなり、数学的に深く入った証明ですね。
今回の証明については、これで十分と言えると思います。

以下、余談。

私個人が数学を趣味としていて、微分を片方から近づけるという方法ではなく、両端から近づけるという方法でできないかと試みていたところ、代数関数では、極限を使わずとも求めることができたので（なぜなら微小係数が消えるため）、これを拡張して定義しようと思った結果、このような極限式が出てきたわけです。数学に対して初学者である私に付き合っていただきとても申し訳なく思う次第です。

お礼日時：2014/01/16 17:10

No.8 回答者： rnakamra 回答日時： 2014/01/16 10:45

分母を

e^x-e^(-x)={e^x-1}-{e^(-x)-1}
と変形しましょう。
こうすれば
lim[x→0](e^x-1)/xの式が使えるようになります。

lim[x→0]{e^(-x)-1}/x=lim[x→0]{e^(-x)-1}/(-x)*(-1)=-1
であることをお忘れなく。

この回答への補足

一つ気になったのですが、
質問の冒頭では分母の部分を2xと書きました。
仮にそのように変形しても、xではなく2xになってしまうのではないでしょうか。
公式の拡張が必要に感じます。

補足日時：2014/01/16 17:34

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。

意外と簡単だったようですが、この解法は思いつきづらかったですね。
解法の一つとしては大いに参考になりました。

お礼日時：2014/01/16 17:16

No.7 回答者： moon-phaze 回答日時： 2014/01/16 01:24

ぱっと思いつくのはこのへん？

1.sinh の微分→そのまんま
2.テーラー展開を使う→分母分子のオーダーを見ればすぐ
3.ロピタルの定理を使う→分母のxを消せる

この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
ただ、今回は微分の定義そのものに関して触れているので、3に関しては、微分を使ってしまうことになり、証明に全くなり得ません。
それ以外については参考にさせていただきます。

お礼日時：2014/01/16 17:13

No.5 回答者： uruz 回答日時： 2014/01/14 22:05

＞そのようなソフトがあることは初めて知りました。

その部分を教えていただいただけでも十分有り難いです

「数値解析ソフト」で検索すると色々でてきます、ほとんどが有料でしかも高い・・・

今回使用したのはちょっと変わった検索サイトです、高度な計算器どしても結構有名です。


WolframAlpha
http://www.wolframalpha.com/

あと、数値解析ソフトと呼ぶにはほど遠いけどMicrosoft Mathematicsは日本語版があり無料でDLして使えます

Microsoft Mathematics
http://www.forest.impress.co.jp/library/software …
http://www.microsoft.com/ja-jp/download/details. …

この回答へのお礼

確かに、数値解析ソフトで無料のものはあまり見かけませんね。
グラフ描画なら、いろいろとありますが。

とりあえず、何かと役に立ちそうなので、使っていきたいと思います。

ただ、数値解析ソフトを原理的にみると、微小な数の代入を繰り返して、解を求めているはずなので、直接的には証明できないかもしれませんね。（今回の場合は極限なので、多少は許容できますが・・・）


これからの議題としては、既存の公式を使って解くという形で再提示させていただきます。
難シイカナモシレナイナー・・・

お礼日時：2014/01/15 15:44

No.4 回答者： uruz 回答日時： 2014/01/14 18:17

もう１枚

lim[x→0]{(e^x-e^(-x))/(2x)}=

を計算させてみました

この回答へのお礼

どうやら、懸垂線に似ていますが違いますね。
もしかすると、今回はsinhなどの関数の微分知識が必要なのでしょうか？
sinx/xが１に収束するという定理も使えそうですが、それへの導入の仕方がいまいち解りません。


別の話ですが、そのようなソフトがあることは初めて知りました。その部分を教えていただいただけでも十分有り難いですm(_ _)m

お礼日時：2014/01/14 20:51

No.3 回答者： uruz 回答日時： 2014/01/14 17:58

＞どんな手法を使っても構いません。

ということなので...WolframAlpha先生に投げて見ました
成立するそうです。