誤差の計算

画像の式（1）のRoutの誤差を計算したいです。
現在、Qメータを使ってインピーダンスRoutの計算をしています。その時、Routの誤差が5%以内に収まるようなQ1とQ2の絶対値及び誤差を計算したいです。ωとC1は誤差を持たないものとします。
具体的な数値は画像のとおりです。

この誤差の求め方を知りたいです。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2014/02/08 04:27

普通にやるなら誤差の伝搬の法則を使って

σR = √[ (∂Rout/∂Q1)^2 σ1^2 + (∂Rout/∂Q2)^2 σ2^2 ]

今の場合

Rout = (1/ωC) Q1Q2/ (Q1-Q2)

なので

∂Rout/∂Q1 = (1/ωC) [Q2(Q1-Q2)-Q1Q2]/ (Q1-Q2)^2 = (1/ωC) [-Q2^2]/ (Q1-Q2)^2
∂Rout/∂Q2 = (1/ωC) [Q1(Q1-Q2)+Q1Q2]/ (Q1-Q2)^2 = (1/ωC) [+Q1^2]/ (Q1-Q2)^2

から

σR = (1/ωC)/(Q1-Q2)^2 √[Q2^4 σ1^2 + Q1^4 σ2^2 ]
= (1/ωC)Q1^2Q2^2/(Q1-Q2)^2 √[σ1^2/Q1^4 + σ2^2/Q2^4 ]
= ωC Rout^2 √[(1/Q1)^2(σ1/Q1)^2 + (1/Q2)^2(σ2/Q2)^2 ]

σR/|Rout| = ωC |Rout| √[(1/Q1)^2(σ1/Q1)^2 + (1/Q2)^2(σ2/Q2)^2 ]

>Routの誤差が5%以内

は相対誤差が5%以下という意味だと思うので、σR/|Rout| =< 0.05。つまり

ωC |Rout| √[(1/Q1)^2(σ1/Q1)^2 + (1/Q2)^2(σ2/Q2)^2 ] =< 0.05

とうぜんQ1,Q2と相対誤差σ1/Q1, σ2/Q2は一意的には定まらないので、あとは試行錯誤。

あるいは、逆数をとって

1/Rout = ωC (Q1-Q2)/Q1Q2 = ωC (1/Q2-1/Q1)

1/Rout, 1/Q1, 1/Q2の不確かさをσR', σ1', σ2'とすると、誤差伝搬則から

σR' = ωC √[σ2'^2 + σ1'^2 ]

また、同じく誤差伝搬則から

σ1' = √[ (-1/Q1^2)^2 σ1^2] = σ1/Q1^2

などが成り立つので

σR/Rout^2 = ωC √[(σ2/Q2^2)^2+(σ1/Q1^2)^2]

以下、上と同じ。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2014/02/08 01:47

　　Rout = r

　　Q1 = p
　　Q2 = q
　　r = K pq/(p-q)
と書く事にしましょう。p, qの測定値が含む相対誤差をそれぞれε, δとし、rが含む相対誤差をηとします。ただし、
　　|ε|<<1, |δ|<<1
であり、εとδが互いに独立で、共に平均0, 標準偏差σの正規分布に従う、と仮定します。
　　r(1+η) = K p(1+ε)q(1+δ)/(p(1+ε)-q(1+δ))
　　= K (1+ε+δ+εδ)pq/(p-q+εp-δq)
ここで |x|<<1のとき
　　1/(1+x) ≒ 1-x
という近似を使うと
　　1/(p-q+εp-δq) = (1/(p-q))/(1+(εp-δq)/(p-q)) ≒ (1-(εp-δq)/(p-q))/(p-q)
なので、
　　r(1+η) ≒ K(1+ε+δ+εδ)(1-(εp-δq)/(p-q)) (pq/(p-q))
　　= (1+ε+δ+εδ)(1-(εp-δq)/(p-q)) r
。従って、2次以上の誤差を無視する近似を使うと、
　　η ≒ (1+ε+δ+εδ)(1-(εp-δq)/(p-q))-1
　　≒ ε+δ-(1+ε+δ)(εp-δq)/(p-q)
　　≒ ε+δ-(εp-δq)/(p-q)
　　≒ ε(1-p/(p-q))+δ(1+q/(p-q))
　だから、ηは平均0、標準偏差σ√((1-p/(p-q))^2+(1+q/(p-q))^2) の正規分布に概ね従うことになります。たとえば|η|が95%の確率で0.05以内になって欲しいのであれば、
　　2σ < 0.05/√((1-p/(p-q))^2+(1+q/(p-q))^2)
になるようにすれば良いはず。
　あ、いや、計算間違いがないか、ご確認よろしく。