【難問？】大学入試問題【極限値等】

大学の入試問題です。

自分でもう一度やり直してみて、（1）がわかりました:

x > 1 において g'(x) は正となるので、x > 1 において g(x) は増加関数（以下、省略）。

したがって、（2）以降についてお願いします。
（2）以降の設問は、前の設問をヒントとしていると思うのですが、不明です。

解説はおろか、正答も手元に（もともと）ありません。

元の写真はもっとずっと大きくて見よいのですが、これ以上大きな画像が載せられないようなので、改めてテキストで書きます:

[2] x > 0 で定義された連続関数 y = f(x) は、どんな x に対しても i) y > 0
ii) y - logy = x - logx + c を満たしている。ここで対数は自然対数、c は定
数である。このとき次の問いに答えよ。

(1) g(x) = x - logx、x > 0 とするとき lim[x → ∞]g(x) = ∞ であることを示し、
z = g(x) のグラフの概形をえがけ。

(2) c の取り得る値の範囲を求めよ。

(3) c = 0 のとき、i) ii) を満たす連続関数 y = f(x) は何通り作れるか。

※添付画像が削除されました。

No.9 ベストアンサー 回答者： mbx 回答日時： 2014/04/24 20:30

> （3）解答（記述式）

c = 0 のとき、ii) より
y - log y = x - log x
z = y - log y = x - log x とし、x-z 平面、および y-z 平面に図を描いてみる。
0 < x < 1 のとき
y = x1 と y = x2 という、題意を満たす x の関数 f(x) は 2 通り作れる。
1 <= x のとき、同様に
y = x1 と y = x2 という、題意を満たす x の関数 f(x) は 2 通り作れる。
これらをあわせ、作れる y = f(x) は 4 通り。

* y = f(x1) や y = f(x2) が定数のように見えている (= 直線に見えている)、ゆえに同一のものであると錯覚するのは、あくまで y-z 平面上での現象です。y は x の関数です

この回答へのお礼

最後まで回答いただき、たいへん感謝いたします。

お礼日時：2014/04/25 00:50

No.8 回答者： mbx 回答日時： 2014/04/24 02:00

> （2）解答（記述式）

x > 0 であるどんな (= 任意の) x についても等式
y - log y = x - log x + c
が成り立つということであるから、たとえば x = 1 とするとこの式は
y - log y = 1 + c
となる。このとき c < 0 とすると
y - log y = 1 + c < 1
となり、(1) から x - log x >= 1 (x > 0) 同様 y - log y >= 1 (y > 0) であることと矛盾する。
そこで、c >= 0 において考える。
(1) より x - log x の最小値は x = 1 のとき 1、また lim[x → ∞](x - log x) = ∞。
さらに
lim[x → +0](x - log x) = ∞
y - log y (y > 0) についても同様に考え
c = 0 のとき、x > 0 である任意の x について
y - log y = x - log x + c = x - log x >= 1 (y > 0)
が成り立ち、c > 0 のとき、x > 0 である任意の x について
y - log y = x - log x + c > 1 (y > 0)
が成り立つ。
よって、c の求める値の範囲は
c >= 0

この回答への補足

試験問題用紙のもっと見よい写真を載せようと思ったら「解像度が高すぎます」と言われたのでやめておきます。
役立たずの機能にもほどがあると思います。
外部でどこか画像の載せられるところがあればよいのですが。

補足日時：2014/04/24 20:01

この回答へのお礼

ありがとうございます。
（2）まで明快にわかりました。
可能なら（3）もお願いします。

お礼日時：2014/04/24 17:11

No.7 回答者： mbx 回答日時： 2014/04/23 12:05

(1) のグラフです。

No.6 回答者： mbx 回答日時： 2014/04/23 10:26

(2) 以降は考え中ですが、検索したところ、x - log x という形式が相対的に難しい問題の部類として比較的出てくるようですので、どこかでまた出ても、先の解答例がヒントとなりそうです。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
（2）まで明快にわかりました。
可能なら（3）もお願いします。

お礼日時：2014/04/24 17:11

No.5 回答者： mbx 回答日時： 2014/04/23 10:19

高解像度画像の上げ方がいまだにわからないので、面倒ですが一つずつ...。

> （1）解答（記述式）

h(x) = √x - log x (x > 0) とする。
h'(x) = 1 / (2√x) - 1 / x
= (1 - 2 / √x) / (2√x)
したがって
h'(4) = 0
(増減表省略: h(x) (x > 0) は 0 < x < 4 で一方的減少、x = 4 で極小値 2(1 - log 2) を持ち、4 < x で一方的増加)
ところで
e > 2 ゆえ log 2 < 1
したがって
2(1 - log 2) > 0
よって h(x) (x > 0) は常に正。
つまり
√x - log x > 0 (x > 0)
→ √x > log x (x > 0)
したがって、x > 0 において常に
x - √x < x - log x
が成立する。
ここで
lim[x → ∞](x - √x) = lim[x → ∞]{x(1 - (1 / √x))} = ∞
したがって
lim[x → ∞](x - log x) = ∞
証明終了。
(グラフ省略: g(x) (x > 0) は 0 < x < 1 で一方的減少、x = 1 で唯一の極小値、かつ最小値 1 を持ち、1 < x で一方的増加)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
（1）がとりあえず明快にわかりました。
可能なら（2）以降もお願いします。

お礼日時：2014/04/23 13:28

No.4 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/23 09:16

数学の前に一般常識を、身につけたほうがよい。

数学の話をすれば、(1)が一瞬でできないというのもそうですが、#1と#2の解説から、きちんとした答案を作れないようなレベルでは、ちょっと話にならない。もう少し基本問題からやり直したほうがよい。

この回答への補足

能力がないために「依頼通りに」解答できなくて、本題を人格者攻撃でごまかそうとするなら、もうよいです。

下がってください。

補足日時：2014/04/23 09:22

この回答へのお礼

＞ 人格者攻撃

人格攻撃

お礼日時：2014/04/23 09:25

No.3 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/23 08:29

正直、(1)は基本問題なので、これが一瞬でできないようなら、このレベルの問題（確かにそれなりの難解大学を想定した問題のように思われます）がでる大学にはちょっと距離があるのでは、と、思いますが。

。

x→∞でg(x)→∞を言うには
g(x)=x(1-logx/x)
と変形します。

この回答への補足

知りたいのは、記述に対する模範解答です。

依頼内容を変更していますので、それに沿ってお願いします。

補足日時：2014/04/23 08:35

この回答へのお礼

端的に書きます。
これが依頼内容です:

（1）解答（記述式）
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（2）解答（記述式）
　
　
　
　
　
　
　
　
　
（3）解答（記述式）
　
　
　
　
　
　
　
　
　

お礼日時：2014/04/23 08:52

No.2 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/23 08:24

そもそも、私は解答を書いたつもりはないので、解答を作るのは質問者さんが、やってください。

f(x)が連続なことを厳密に言うのは、やはり高校範囲を超えている（高校での「連続」の定義では証明できない）と思うので、いずれにせよ、ある程度の「ごまかし」が入ることにはなるでしょう。

最初に、y=g(x)の、y≧1あるいはy≦1での逆関数を、それぞれ、h1(x)、h2(x)とする、などと置いてしまう（連続な逆関数が存在することは「自明」とする）というのが、答案がすっきりするような気がします。

この回答への補足

＞ 解答を作るのは質問者さんが、やってください

いえいえ、依頼内容は変更した通りです。

それがおできにならないのであれば、「解答できない」ということでよいです。

補足日時：2014/04/23 08:37

この回答へのお礼

＞ 想定した問題

模擬問題ではありません。
模試の問題なら、今まで全部正答・解説は取ってあります。

お礼日時：2014/04/23 09:17

No.1 回答者： rabbit_cat 回答日時： 2014/04/23 02:48

(2) c≧0

(3) 4通り

(2)
ヒントとしては、ii)で、x=1のときを考えれば、c≧0が必要条件なことがわかります。あとはそれが十分条件なことを言えばよいですが、つまり、x→0あるいはx→∞で、g(x)→∞なわけで、x=1でのf(x)の値f(1)を決めたあと、x=1からxが離れるにしたがって、ii)を満たすように、f(x)を大きく（あるいは小さく）していけばいいわけです。（ニュアンス伝わるかな。）
きちんと書くなら、中間値の定理を使うのかな。
ただし、f(x)が「連続」であることを厳密に言うのは高校範囲を超える気がしないでもないですが、逆に言えば、大学受験なら、「そのような連続なf(x)が存在することは明らか」で済ませれば良いのでしょう。

(3)
x<1で、f(x)<1 か f(x)>1 かで２通り
x>1で、f(x)<1 か f(x)>1 かで２通り
で計４通り。
まあ(2)ができれば(3)は必ずできるでしょうから実質ボーナス点みたいなものですかね。

この回答への補足

感覚的にはわかりますが、感覚的に抱いていたものの上にさらに屋を架されたような感じしかしていません。
記述式問題のため、おそらく「ニュアンス」とか「明らか」などはダメだと思います。
（2）、（3）ともに、解説というより、実際に記述問題に解答する体でお願いします。

補足日時：2014/04/23 05:37

この回答へのお礼

やはり（1）についても、自身の解答を訂正します。
というのは、g(x) が x > 1 において連続増加関数であっても、x → ∞ で g(x) → ∞ となるとは限らないためです。
x > 0 において常に h(x) < g(x) なるところの何らかの別の関数 h(x) を見つけ、x → ∞ で h(x) → ∞ となることを言えばよいということが一つ思い浮かびましたが、具体的な関数は頭の中に出てきません。

設問全部に関する依頼内容も、「記述式に実際に解答する体でお願いします」というふうに変更したいと思います。感覚的にはそうなるだろうなというのはこういう問題では何度も経験があるので、そこは数学、きっちり論理的にほしいと思います。

お礼日時：2014/04/23 08:04