中1数学の問題をすごく分かりやすく教えてください

中1の甥が、ちんぷんかんぷんと泣いていますので、分かりやすく教えてください。
初めての中間テストの勉強で不安になっています。
印刷して見せますので、中1の頭向けの解説をお願いします。

　　　　P→　　←Q　　　　　　
A----・-------・------B
と図が書いてあります。
AからBまで80cmです。・の左の方がPの位置、右の方がQです。

図のように８０cm離れた２地点A、B間を、２点P、Qがそれぞれ往復している。
いま、点PはAを出発して秒速３cmで動き、点QはBをPと同時に出発して秒速２cmで動いている。
２点P、QがそれぞれA、Bを同時に出発したあと２度目に会うのは、点Aから何cmの地点か求めなさい。

No.9 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/05/10 08:48

わからないのはなぜかを、２人で頭をつき合わせて考える。

1) 質問の運動自体がわからないのか
　　図に描けるかで理解の程度はわかります。
2) 式にできるか
　　文章や会話から真髄だけを抜き取ることができるか
3) 式が解けないのか

　この三点のどこがわからないかがあなたの質問からはわかりません。言い換えれば、甥子さんがどこで躓いているかがわからないから、あなたもアドバイスも出来ない。

(1) 図が描けるか・・これは小学校の時に散々と行なってきたはずです。
　　時間と距離の関係を図で書き表せるか??
　　　問題文を理解できているかそうでないかは図に表せるか否かでわかります。
　　　図が描ければ、もう答えを見つけたのと同然です。
　　P点だけを考える。--直線にすると

(2) 図から単純な二連一次方程式、直線の交点を求めることだとわかりますね。
　　二通りの解き方があることもわかります。
　　・Q点の二度目の出発点を加えて出発させるか
　　・Q点が遠くから出発したかを考える。

(3) あとは解けるはずです。

　まず、図を描かせて見ましょう。

★応用問題は、式自体はとっても簡単で計算も楽で、しかも配点が高い。これを狙わない手はありません。
　応用問題が苦手な子は、読書量も足りないですね。漫画やテレビだとイメージを全て作者が示してくれるために頭の中でイメージを作る能力が育ちません。文中で「時計」という単語が出てきたら柱時計や腕時計、色々な物が浮かびますが、読み進めていくとどんな時計かが頭の中で固まってきます。これは、応用問題を読み解くのと全く同じ作業ですね。
　文章を読めないという事は、人との会話でも相手の意図をつかめないことにもつながる。

　しっかり小説などを読むこと・・・これが数学を得意になるポイントでしょうね。

この回答へのお礼

学校の問題集の問題でしたが、答えの解き方が間違っていました。そのため悩んだのが皆様からの回答で分かりました。
私はさっぱり分かりませんので、私の母が皆さんの回答をもとに甥に教えました。
読書は確かにしません。ゲーム大好きな子ですので。
ご丁寧にありがとうございました。
わざわざ図までお手間をとらせましてすみません。感謝いたします。

お礼日時：2014/05/10 13:05

No.8 回答者： over_the_galaxy 回答日時： 2014/05/10 06:26

質問への回答が「自分で調べろ」

調べる手段がココであってもいい筈だよね。

この回答へのお礼

そうですよね。
買ってやった参考書にも似た問題がない、教科書にもない、学校からもらった問題集にもない、塾のテキスト類にもない、お手上げだったようです。
２週間も悩み続け、しまいに泣いてしまいまして。
実力テストが４月にあったのですが、５教科５００点取ったので自信があったようなので、解けない悔しさと不安とで泣き続けましたので、質問にいたりました。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 13:00

No.7 回答者： nacci2014 回答日時： 2014/05/10 00:46

一回目に出会う距離でのPとQの出会う距離は向きあってちかずくのだから双方の進行距離の和は80cm

二回目に出会う距離は一旦逆方向に双方が進行した後にUターンして向かいあって進行するのだから双方の進行距離の和は80cm×2で160cm

これをたすと双方の進行距離の和は240cm進行した時点でここが二回目の出会い地点。

この時、進行速度の差は3:2だからＰが進む距離は144cm:Ｑが進む距離は96cmとなる

Ｐが144cm進行した距離とはＡ地点を出発してＢ地点でUターンしてＡ地点の手前16cmの地点である

よって答えは
Ａ地点から16cmになる

この回答へのお礼

甥に見せましたがちょっと分かりにくかったようです。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 13:05

No.6 回答者： nacci2014 回答日時： 2014/05/10 00:13

(1)一回目は向かいあって進行するのでＡＢ間を80cm進行するまでの間で出会います。

(2)その出会いの地点を考えるとき
Pは3cmQ2cm進むのですから毎秒5cm接近します。
(3)そこでまず距離80cmを接近距離5cmで割ります。16という答えがでます。この16は16秒後に出会うという答えです。
(4)16秒後のPの進んだ距離は16×3cmですからA地点から48cmの地点でQの進んだ距離は16×2cmですからＢ地点から32cmです。この地点で出会います。
(5)一回目に出会ってからＰがＱを追いかける進行方向になりますが追いつけるか計算します。ＱがＡ地点に到着する時間を計算すると残り48cmだから24秒かかります。
(6)ＱがＡ地点に到着した時、ＰはＢ地点を折り返して40cmのところにいます。計算は24×3＝72でＢ地点まで32cmだから折り返して40cm。追いつけませんでした。
(7)再びＰとＱは向かいあいました。距離は40cmです。この時、毎秒5cmずつ接近するのだから8秒後に二回目の出会いがやってきます。
(8)その地点はＡ地点からみてＱにとっては8×2cm進行した16cmの地点となります。（ＰにとってはＢ地点からみて64cmの地点）

なので答えはＡから16cmの地点です。

この回答へのお礼

甥も甥に教えた母もなんだかややこしくなってしまったとのことでした。
どうもありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 13:06

No.5 回答者： masamasa74 回答日時： 2014/05/09 22:59

ＱがＢを出発してＡまで行くのにかかる時間は、80cm÷秒速2ｃｍ=40秒となります。

Ａが40秒で進む距離は、秒速3cm×40秒=120cmとなり、Ｂまでの80cm進んだ後折り返して40cm進む事になります。

この時点でＰとＱの間の距離は40cmとなります。
ここからはＰとＱがそれぞれ接近する動きを見せますから、40cmをそれぞれの秒速を合わせた5cmで割れば「8秒」という答えが出て来ます。

要はＱがＡで折り返した後8秒後に出会うのですから、8秒×秒速2cm=16cmとなり、『ＰとＱが二度目に出会うのはＡ地点から16cmの地点』だという事になります。

この回答へのお礼

どうもありがとうございました。
問題集の答えのやりかたと違うやり方は覚えにくかったとのことでした。

お礼日時：2014/05/10 13:07

No.4 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/09 22:53

プロ家庭教師を十数年やっています。

全角と半角の都合上、図が少しずつずれることを御容赦ください。

私が書いている間に３人の方が解答なさっていますが、厳しい方が多いですね。
親や大人はわかっているので「なんでこんなのがわからないの」と言いがちですが、「人生で初めて」こういうタイプの問題を見る場合には、教科書を見てもちんぷんかんぷんな場合が多いものです。
中学入試を経験した人は、これより複雑な問題にも慣れていますが、経験していない人にとっては「折り返しが３倍になる」という以下の説明は、目新しいものでしょう。


ＰとＱは、１回目に出会ったときはスルーするわけです。
A------------1------B
　　　　　　　↑
ＰさんとＱさんが１回目に出会うポイント

（ｃｍ単位なので人じゃないですが、擬人化して説明します。Ａ町、Ｂ町をイメージしてください。）
以下、１回目に出会ってスルーした後のことを考えます。

■
ＰとＱの速さの差がものすごくある場合（例：徒歩と車）
ＱさんがＡに向かっている最中に、
Ｂで折り返してきたＰさん（車）がＱさんに追い付くことがあります。

A---2----------1-----B

Ｐさん
　　　　　　　　→→→
　　←←←←←←←←←

Ｑさん
　　←←←←←←

（追い付くパターン）
しかし実際には、ＰとＱの差はそんなに「ものすごく大きい」わけではないので、
Ｐさんが追い付くよりも早く、ＱさんはＡで折り返してＢへと向かってくるでしょう。
（追い付く問題はしばらくは出ないと思うので安心してください。

ちなみに、計算しなくて良いですが、
ＰがＢに着くまで　８０　÷　３　＝　２６．６６…　秒
この時、Ｑは
　２６．６　ｘ　２　＝　５２　メートルくらい
進んでいます。
残りは
　８０　－　５２　＝　２８　メートルくらい
ＱさんがＡに着くまで
　残り　２８　÷　２　＝　１４　秒
　くらい


たった１４秒で　ＰがＢを出発してＱに追い付くのは不可能ですね。
今は、計算が面倒でも、直観でわかればけっこうです。


さて、ＰもＱも折り返してくると、「絶対に」ＡとＢの間で出会います。

A---2--------1------B

Ｐさん
　　　　　　　→→→→
　　←←←←←←←←←

Ｑさん
←←←←←←←
→→

ただ、この「折り返してくる」というのを一つの図の中で考えるのは、苦手とする人が多いです。そこで、それぞれ一直線にしてみましょう。

Ｐさん
A------------1------B---------------2---A
＝＝＝＝＝＝＝→→→→→→→→→→→

Ｑさん
B---------------2---A------------1------B
　　　　　　　　←←←←←←←←←＝＝＝＝

これを合体させると、次のようになるわけです。
（パソコンでもかなり横長になるので、見にくかったらすみません。）

A------------1------B---------------2---A------------1------B
＝＝＝＝＝＝＝→→→→→→→→→→→
　　　　　　　　　　　　　　　　　　←←←←←←←←←＝＝＝＝

何が言いたいかというと、
Ｐさんは　Ａ→Ｂ→Ａ、
Ｑさんは　Ｂ→Ａ→Ｂ　と進んでくるので、
２人合わせて　Ａ～Ｂ～Ａ～Ｂ　という　２４０ｃｍ　の道を向い合せに進むのと同じ問題なのです。

この問題では、１の地点は無視して良いので２の地点だけ見てください。

ここから解き方が２種類あります。学校で習っている方に合わせて身に付けてください。

【１】
「すれ違い」「向かい合わせ」だから、速度を足し算。
　３　＋　２　＝　秒速　５　ｃｍ
　２４０　ｃｍ　÷　毎秒　５　ｃｍ　＝　４８　秒
（きはじ、　距離、速さ、時間、で、
時間＝距離÷速さ）

４８秒間でＰさんは
　４８　ｘ　３　＝　１４４　ｃｍ　進む。


【２】
速度が　３：２　（３ｃｍ毎秒：２ｃｍ毎秒）
進む距離も　３：２　になる。
　３＋２＝５
５　が　２４０ｃｍ　だから
１　は　４８ｃｍ。
よって　３　は　１４４　ｃｍ。


【１】【２】共通
Ａ～Ｂ～２　が　１４４　ｃｍ　なわけです。
Ａ～Ｂ～Ａ　が　１６０　ｃｍ　ですから、
Ｐさんは　「Ａまで残り　１６ｃｍ」の地点でＱさんと出会うわけです。

お役に立てれば幸いです。
不明点があれば質問を閉じずに疑問点を書いてください。

この回答へのお礼

すごく丁寧にありがとうございました。
おかげさまで甥は大喜びしています。
とってもよく分かったと言っています。
母はこの回答を見ながら、甥に説明してくれました。
母もこの回答は素晴らしい、賢い方でありがたいと言っていました。
素晴らしい回答、感謝いたします。
甥は４月の実力テストで５教科５００点でした。なのに、この問題が解けない。私はそれが不思議でなりませんでした。
中学入試向けの問題なのですか？それなら解けなくて当然ですね。

お礼日時：2014/05/10 13:11

No.3 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/05/09 22:19

点PがAを、そしてそれと同時に点QがBを出発して、両者が出会うまでに

進む距離の合計はどれだけでしょう？

答えは８０ｃｍですね。

このとき、当然ながらPとQは同じ地点にいて、以後反対方向にすすみます。
ではこの次（つまり二回目）に両者が出会うまでに進む距離の合計は
どれだけでしょう？

図を書いてみましょう。点AとBがあって、その間の同じ地点にPとQがいます。
この状態からPは右に進み、BについたらUターンします。一方Qは左に進み、
AについたらUターンします。両者がUターンしてしばらくするとPとQは再び
出会います。

答えは８０ｃｍの二倍、１６０ｃｍですね。

つまり、両者が二度目に出会うまでに進む距離の合計は
８０＋１６０＝２４０　ｃｍになります。

両者の進む速さの合計は秒速５ｃｍですから、二度目に出会うまでに
かかる時間は
２４０／５＝４８　秒
です。この間両者が進む距離は
P：３＊４８＝１４４ｃｍ
Q：２＊４８＝９６ｃｍ
です。当たり前ですが合計はちゃんと２４０ｃｍになっていますね。

Qが９６ｃｍ進むということは、QはAまで行ってUターンし、さらに１６ｃｍ
進むということですね。

この回答へのお礼

最後がよく分からなかったようです。
途中までは分かったと甥は言いました。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/10 13:11

No.2 回答者： kuu9 回答日時： 2014/05/09 22:19

自己紹介で姉の子を一人前にしたいと書いてるのなら　数学の問題も　他人に教えて貰うのでは無く　自分で調べる様に言いなさい

問題が判らないなら　人に聞くっていう　教え方より　自分で調べる努力を身につけないと　この先　自分で調べる事をしなくなりますよ

この回答への補足

自分で調べてどうにもならないので質問を私がしました。
もう2週間も悩んでいます。
調べても分からなくてもほっといて似た問題が出たらその問題は０点にしなさいと言うべきでしたでしょうか？

補足日時：2014/05/09 22:24

この回答へのお礼

学校の問題集も調べ、塾のテキストも調べ、教科書も調べ、私が買った問題集や参考書も調べ、姪っ子にも見てもらって、母も自力で解いてみて・・・の結果、さっぱり分からずこちらを頼りました。

お礼日時：2014/05/10 13:12

No.1 回答者： 85004850 回答日時： 2014/05/09 22:19

算数の教科書で復習するべきですな。

泣こうが喚こうが、今までサボっていたんだからどうしようもない。
第一、テスト前だけ勉強してもどうにもならない。

この回答への補足

自分で（おいが）調べてどうにもならないので質問を私がしました。
もう2週間も悩んでいます。
調べても分からなくてもほっといて似た問題が出たらその問題は０点にしなさいと言うべきでしたでしょうか？

補足日時：2014/05/09 22:25

この回答へのお礼

甥っこは毎日勉強していますよ。

お礼日時：2014/05/10 13:13