対数の大小の比較について教えてください。

２/３，３/4，log(3)6，log(5)10

（）内の数字は対数です。

２/3の読み方は二分の三です。

これらの数字の大小を比較するという問題です。

よろしくおねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： staratras 回答日時： 2014/05/10 16:56

以下の回答でa/bは「b分のa」を表し、()は対数の底を表します。

1<3<4<5<8　だから底を10とする常用対数をとれば(底は省略)
0<log3<log4<log5<log8

log2(>0)を分子とし、上の各数を分母とする分数を考えると
log2/log8<log2/log5<log2/log4<log2/log3
1/3<log2/log5<1/2<log2/log3　（∵　2^2=4 2^3=8)
すべての項に1を加えると
4/3<(log2+log5)/log5<3/2<(log2+log3)/log3
4/3<log10/log5<3/2<log6/log3
底を変換して
4/3<log(5)10<3/2<log(3)6

No.6 回答者： asuncion 回答日時： 2014/05/10 17:10

＞２/3の読み方は二分の三です。

ここの掲示板のように、分数を横方向に書かねばならない場合、
分子を / の「左」
分母を / の「右」
に書くのがより一般的です。

二分の三を表現したいのであれば、今後は
3/2
とお書きくださると、誤解を招かずにすむでしょう。

No.5 回答者： QoooL 回答日時： 2014/05/10 17:05

２／３　の読み方は二分の三ではなく　三分の二　ですよね（＾＾；）

下の２つの常用対数は覚えていた方が良いです。

log(10)_２＝０．３０１０　（ログ２はミレーテン）
log(10)_３＝０．４７７１　（ログさんは死なない）

log(3)_Ｘ
このＸが真数ですね。
ちなみに３は「対数の底」です。

Ｘが底より大きいとき、log(3)_Ｘ　は１より大きくなります。
log(5)_Ｘ　も同様です。
これで、左の２つの分数（１より小さい）と大小比較できますね。
（分数書いてあるのがほとんど意味ないのですけれど、書き間違いありませんか？）

log(3)_６　と　log(5)_１０　ですが、上に書いたミレーテンなどを知らなくても、小数の割り算も何もせず大小比較ができます。

log(3)_６＝log(3)_（２・３）＝log(3)_２　＋log(3)_３＝log(3)_２　＋１
log(5)_１０＝log(5)_（２・５）＝log(5)_２　＋log(5)_５＝log(5)_２　＋１

ということは、
　　log(3)_２　と　log(5)_２　の大小比較
なわけです。
　　真数が同じで、真数が１より大きい時は、
　　底が大きいほど、対数は小さくなります。

これは、迷いそうなら、
　　log(10)_１００　と　log(100)_１００　の大小比較
をしてみればわかるでしょう。
　　log(10)_１００＝２
　　log(100)_１００＝１

あえて答えは書きませんので、ルールに基づいて大小を考える訓練をしてみてください。


ただ、逆に
　　真数が１より小さい時は、
　　底が大きいほど、対数も大きくなる
ので注意してください。例えば
　　log(1/4)_（１／１６）＝２
　　log(1/2)_（１／１６）＝４
で、底が10や100の場合と逆です。

ちなみに
　　log(10)_（１／１００）＝－２
　　log(100)_（１／１００）＝－１
で、やはり
　　真数が１より大きい時は、
　　底が大きいほど、対数は大きくなります。
ご自分で手を動かすと勉強になるでしょう。
　　log(1/4)_４＝－１
　　log(1/2)_４＝－２
も同様です（底が大きいほど、対数は小さくなる）。


ちなみに、
先ほどのご質問で、「logの対数は3で、次のlogの対数は10で」とおっしゃっていたのは「対数の底は3で」ですね。


先の回答者の方が真数条件　Ｘ＞０、Ｙ＞０　について確かめていらっしゃいませんでしたが、方程式から出てきた解がこの条件を両方満たす、ということは必ず必要、ということを補足しておきます。

No.4 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/10 17:00

　#3です。

>２/3の読み方は二分の三です。

　これ、見落としましたorz。普通はそれを「三分の二」と読むので。すると、このご質問での「3/4」は「三分の四」でしたか。

　分数の大小を考え直さねばなりませんが、もう正しくご質問文を読んでの回答が出ているようです。#3は無視なさってください。

No.3 回答者： lazydog1 回答日時： 2014/05/10 16:56

>２/３，３/4，log(3)6，log(5)10

　対数関数から手を付けて行きます。

log(3)6=log(3)(3×2)=(log(3)3)+log(3)2=1+log(3)2　―(1)
log(5)10=log(5)(5×2)=(log(5)5)+log(3)2=1+log(5)2 ―(2)

　対数関数はどんな底でも真数が1で0、1より大きければ正の値です。ですから、log(3)6log(5)10も1より大きく、2/3, 3/4より大きいことは明らかです。

　すると、log(3)2とlog(5)2のどちらが大きいかを決定すればよいことになります。割り算を使ってみましょう。

{log(3)2}/{log(5)2}
={log(3)2}/[{log(3)2}/log(3)5]　←対数の底の変換公式をlog(5)2に使い、底を3にした
=log(3)5

　対数関数は単調増加です（真数が大きいほど、対数の値も大きい）。底が3のとき、同じ3でlog(3)3=1ですから、それより大きい5のlog(3)5は1より大きくなります。

　ということは、log(3)2もlog(5)2も正であることも使えば、

{log(3)2}/{log(5)2}＞1
∴log(3)2＞log(5)2

となります（真数が同じなら底が小さいほど対数の値が大きいことをいきなり使ってよいのであれば、最後の不等式だけでよい）。

　これを式(1)(2)に使って考えると、log(3)6＞log(5)10が分かります。ですので、

2/3＜3/4＜log(5)10＜log(3)6

となります。

No.1 回答者： gohtraw 回答日時： 2014/05/10 16:36

log(3)6=log(3)3+log(3)2

=1+log(3)2
log(5)=log(5)5+log(5)2
　　　=1+log(5)2

log(3)2とlog(5)2を比べると、真数が同じなので、底が小さい方、
つまりlog(3)2の方が大きい。よって

log(3)6＞log(5)10

そのほかの大小はいいですよね？