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f(x)=x^3-3x+1、g(x)=x^2-2とし、方程式f(x)=0について考える。このとき、次のことを示せ。

(1)f(x)=0は絶対値が2より小さい3つの相異なる実数解をもつ。

(2 )αがf(x)=0の解ならば、g(α)もf(x)=0の解となる。

(3)f(x)=0の解を小さい順に、α1、α2、α3とすれば、
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2
となる。

至急回答お願いします!!!

A 回答 (10件)

ただそうだからといって, そこから単純に #6 の (あ) のように因数分解できるとしちゃいけないところがややっこしいところでして>#10.



実際には
(あ) のように因数分解できる
ことを言っておいてから
g(α1)=α3, g(α2)=α1, g(α3)=α2
のいずれか 1つを示すのが簡単... かなぁ? いくつかやりかたは思い付くんだけど, 本質的に
・g(αi) = αj としたとき i と j の対応が完全順列になる
・g(α1) = α3 とかなんとかを示す
って手順しか浮かばないんだよね....
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駄目駄目ですな。

鬱。
(2)より
αが元の方程式の解であるならば
g(α)も同じく解であり、さらに(2)より
g(g(α))も解である。

でありました。ご教示感謝です。
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そもそも


g(α1)=α3, g(α2)=α1, g(α3)=α2
のいずれも前提にしちゃダメなんだってば>#8.

(2) からすべての i (1, 2, 3) に対して
g(αi)=αj (j は 1, 2, 3 のいずれか)
であることは分かるけど, 「どの i にどの j が対応するのか」はこの時点では何も仮定できない. つまり, (今の場合は簡単に排除できるけど)
g(α1)=g(α2)=g(α3)=α1
なんて可能性も (きちんと根拠を上げたうえで排除しない限り) 頭の中に入れておかなきゃならない. そして, ちょろちょろっと計算すると i と j の対応関係が完全順列であることまではいけるけど, 「2つある完全順列のうちのどちらか」に絞るためにはもうちょっと手間が必要だと思う.

ちなみにたとえば g(α1)=α3 と g(α2)=α1 を仮定してしまえば残りの g(α3)=α2 は簡単で, #6 は難しく考えすぎ.
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No.7様


 ご指摘の通り、正しくは
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2 のうちの
二つの関係より

でしょうか。どの二つかは判りませんが。
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ちょいと待った>#6.



(3) は g(α1)=α3 などになることを示せってことだから, 「g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2 という関係より」はおかしい.
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色々言われてますな。

まあその通りかもね。
とはいえ困ってはいるのだろうし、テストのカンニングだと
したらもう間に合わないのではあるけれど。

(1)
No.3の方のおっしゃる通り、仮に
-2<p<q<2であり、
f(ー2)<0 かつ f(p)>0 かつf(q)<0 かつf(2)>0
だとしたら、
f(x)は
x=-2とx=pの間のどこか
x=pとx=qの間のどこか
x=pとx=2の間のどこか
の三点でf(x)=0になるだろうということ。pとqがどの辺で、f(p)とf(q)
がどういう値になるか知るために微分をしなさいということ。

(2)
αがf(x)=0の解であるということは、α^3-3α+1=0ということ。
g(α)がf(x)=0の解であるということは、x=α^2-2のとき
f(x)=0になるということ。
だからf(x)にx=α^2-2を代入し、それがゼロになることを示せばいい。
α^3-3α+1=0
ということを利用すると式を簡単にできる。

(3)
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2 という関係より、解の一つ(α1から
α3のどれかは判らないが)をαとすると、他の二つの解は
g(α)=α^2-2 および
g(α^2-2)=α^4-4α^2+2
となる。よってf(x)は
f(x)=(x-α)(x-(α^2-2))(x-(α^4-4α^2+2)) ・・・(あ)
となる。この時点では
g(α1)=α3、g(α2)=α1、g(α3)=α2
のうちの二つ(どの二つかは判らないが)しか満たしておらず、残る一つを満たすためには
f(α^4-4α^2+2)=αとなることを示す必要がある。

(あ)を展開すると、f(x)のx^2の係数はゼロだから
α+(α^2-2)+(α^4-4α^2+2)=0
よって
α^4-4α^2+2=-αー(α^2-2)
            =-α^2ーα+2 ・・・(い)
となる。したがって(あ)は
f(x)=(x-α)(x-(α^2-2))(x-(-α^2ーα+2))
と変形できる。さらにこれを展開すると、f(x)のxの係数はー3なので
α(α^2-2)+(α^2-2)(-α^2ーα+2)+α(-α^2ーα+2)=-3
α(α^2-2)ー(ーα^2ーα+2)^2=-3
これより
(ーα^2ーα+2)^2=α(α^2-2)+3
よって
(ーα^2ーα+2)^2-2=α(α^2-2)+1
                =α^3-2α+1 ・・・(う)
ここでα^3-3α+1=0なのだから、
α^3-2α+1=α ・・・(え)
(い)から(え)により
g(α^4-4α^2+2)=g(ーα^2ーα+2)=α
であることが示された。
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そうか!



問題集の解答を見られないのはヘンだと思ったら、
試験中の可能性もあるのですね!

真面目に回答を作っていらっしゃる回答者の皆さんは、どう思っていらっしゃるのでしょう?
いっそ質問を立てて聞いてみたいくらいです。
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前の前の質問


http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8583222.html

締め切ってもいませんね。
答えてくれた方々に「わかりました!」と言うこともできないくらい
テスト勉強で忙しいか、ケータイが壊れているのですか?


数IIIだと思うので微分を習っている前提で話をしますが、
(1)はf’(X)を導いた後、
f(-2)
f(-1)
f(1)
f(2)
などの正負を調べれば、
(さらに増減表も書けば完璧)
正負の記号が入れ替わるところで必ずY=0と交わる
(= f(X)=0となる)
ということが示せます。

微分もしていないのですか?
微分範囲の問題ではなかったかな?


いちいち目くじら立てない「寛大な」回答者様たちもいますが、
私は、
   聞きっぱなし
   宿題処理係と勘違いしている学生
は歓迎していない方です。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8576028.html
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8576027.html


真面目に回答するにも、相手を選ばせていただきます。
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お互い顔がわからないのだから、親しき仲以上に礼儀が大切ですね。


別に教えてやるという上から目線になるつもりはないけど、
「回答お願いします」と頼むときに「至急」という条件も付けるのは、
よっぽどのことである、
と高校生であるあなたに誰かが言ってあげないといけないと思いますよ。

「至急お願いします」とものを頼めば、相手もある程度時間の都合を付けて
あなたのわがままに付き合うわけです。

回答受付数が45もあって、お礼数が0というのは、普通ではないと思いますよ。
だいぶ失礼。
下記のあなたの前の投稿を見てごらんなさいよ。
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8593018.html

真面目に答えている人たちに対して、感謝のかけらも表せないのですか。

まして数学は、特殊記号もあったりするので、入力は結構手間かかりますよ。

宿題を身近な人に聞かずに「不特定多数の」ここの人々に手伝ってもらうこと自体は、
別に批判はしませんけど、
教えた方は教えた方で「ちゃんとできたかな」と気にかけている、
ということも、くみ取るべきです。

参考URL:http://oshiete.goo.ne.jp/qa/8593018.html
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いや, せめて (2) くらい自分でやろうよ.

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