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Question

次の(1)～(5)にあたる実数 c に関する条件は、条件　│c│≦2　が成り立つための、

(A) 必要条件　　(B) 十分条件　　(C) 必要十分条件　　(D) 必要条件でも十分条件でもない

のうち最も適切なものとその理由を答えよ。

(1) c≦2　　　　　　　　　　　　　(2) c＾2-2≦0　　　　　　　　　　(3)すべての実数xに対して x＾4-c≧0

(4) ある実数xがあり、(x-1)＾2+c＾2≦4となる　　　(5) x<1 ならば cx<2

この問題の解答をお願いします。

gomagoma427 · Accepted Answer

必要条件、十分条件に関してはいろいろ表現がありますが、

ｐ　→　ｑ

のとき、ｐをｑの十分条件と言い、ｑをｐの必要条件と言います。

個人的にわかりやすいのは図で、丸をひとつ描いてｑとします。その中にもうひとつ丸を描いてｐとします。そうするとｐに含まれている部分はｑにも含まれています。つまりｐ→ｑです。

この図の中で、中に入っている丸が十分条件です。外側の丸が必要条件です。

さて、│c│≦2　というのは、－２≦ｃ≦２　と同じことですが、これよりゆるいｃの条件が必要条件になり、これよりきつくｃを制限するものが十分条件になります。

例えば（１）は必要条件です。なぜなら　－２≦ｃ≦２　は両側からｃを制限していますが、ｃ≦２は片側からしか制限していません。ゆるい条件です。

（２）は十分条件です。
c＾2-2≦0　を別の形にすると、－√２≦ｃ≦√２　となります。
√２≦２　なので、これは－２≦ｃ≦２よりきつい制限となります。ｃがー√２と√２の間にあるなら、当然－２と２の間にあることになるからです。

（３）は必要条件でも十分条件でもありません。
x＾4が一番小さくなるのはｘ＝０のときで、このときx＾4＝０です。
したがって全てのｘに対して　
x＾4-c≧0
となるのは、一番小さいとき、つまりｘ＝０のとき
０－ｃ≧0　となればよいので、
ｃ≦０　です。
ですが、この条件だけではｃは例えば-３かもしれません。－３は－２≦ｃ≦２を満たしていません。
逆にｃの条件が－２≦ｃ≦２のとき、ｃは１かもしれません。ですが１はｃ≦０を満たしていません。
したがって必要でも十分でもないのです。

（４）は必要十分条件です。
(x-1)＾2+c＾2≦4　を移項して、
(x-1)＾2+c＾2-４≦０　です。
左側は下に凸の二次曲線で、頂点が（1,c^2-4)　です。
したがってこのグラフで一番低いところはx=1のときにc^2-4 です。
これがｘ軸より下になる点があるという条件を満たすためには
c＾2-４≦０でなければなりません。
これは　－２≦ｃ≦２　と同じことです。したがって必要十分条件です。

（５）は十分条件です。
x<1　の両辺に正の数ｃをかけます。　ｃｘ＜ｃ
x<1 ならば cx<2　の条件から、ｃ＝２であることがわかります。
ｃ＝２　は　－２≦ｃ≦２　を満たしていますが、－２≦ｃ≦２だからと言ってｃ＝２とは限らないからです。

gomagoma427 · Answer

No1ですが、すみません（５）で間違ってました。

ｘ＜１　ならば　ｃｘ＜２

をみたすCの値は　０≦ｃ≦２
でした。しかし十分条件であることには変わりません。

yyssaa · Answer

(1)c≦2
＞(A) 必要条件・・・答
理由：-2≦c≦2→c≦2は成り立つのが、逆は成り立たない。
(2)c^2-2≦0
＞(B) 十分条件・・・答
理由：-√2≦c≦√2→-2≦c≦2は成り立つのが、逆は成り立たない。
(3)すべての実数xに対してx^4-c≧0
＞(D) 必要条件でも十分条件でもない・・・答
理由：すべての実数xに対してx^4-c≧0なら0≧cであり、
0≧c→-2≦c≦2も、その逆も成り立たない。
(4)ある実数xがあり、(x-1)^2+c^2≦4となる
＞(C) 必要十分条件
理由：(x-1)^2+c^2≦4なら0≦c^2≦4すなわち|c|≦2だから。
(5)x＜1ならばcx＜2
＞(D) 必要条件でも十分条件でもない・・・答
理由：例えばx=0.1＜1のときc＜2/0.1=20であり、c=-2のとき
x=-10＜1だとcx=20＞2となるので、
(x＜1ならばcx＜2)→-2≦c≦2もその逆も成り立たない。

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必要条件、十分条件に関してはいろいろ表現がありますが、

No1ですが、すみません（５）で間違ってました。

(1)c≦2

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