放物線と直線が１つだけ共有解を持つときの直線の傾き

下記の問題の模範解答について疑問があります。

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a を実数の定数とする。
　　x^2 + (a-1)x +a+2 = 0 ・・・式1
について次の問いに答えよ。

式1 が 0≦x≦2 の範囲には実数解をただ１つ持つとき、a の値の範囲を求めよ。
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--模範解答-----------
式1 より
　　ax +a = -x^2 + x -2 ・・・式2

式1 について判別式を取ると
　　D= (a-1)^2 - 4(a+2)
　　　=(a+1)(a-7) ・・・式3

【I】
　　y= ax +a ・・・式4
　　y= -x^2 + x -2 ・・・式5
が接するとき
　　D= 0
∴ a= -1, 7
a < 0 より a= -1

【II】
式4 の直線が (0, -2) を通るとき
式2 の左辺 a
式2 の右辺 -2
∴ a = -2

式4 の直線が (2, -4) を通るとき
式2 の左辺 3a
式2 の右辺 -4
∴ 3a = -4
∴ a = -4/3

よって
　　-2 ≦a＜ -4/3

【I】【II】より
　　a = -1, -2 ≦a＜ -4/3
---------------------

--私の解答-----------
式1 より
　　ax +a = -x^2 + x -2 ・・・式2

式1 について判別式を取ると
　　D= (a-1)^2 - 4(a+2)
　　　=(a+1)(a-7) ・・・式3
【ここまで同じ】

f(x)= -x^2 + x -2
= -(x-1/2)^2 - 7/4
g(x)= ax +a
= a (x+1)
とおく

【III】
　　y= f(x)
　　y= g(x)
が接するとき
　　D= 0
∴ a= -1, 7

a= -1 のとき 式1 は
　　x^2 - 2x +1 = 0
∴ x= 1
これは条件に適する
【添付画像の青の直線】

a= 7 のとき 式1 は
　　x^2 + 6x +9 = 0
∴ x= -3
これは条件に適さない

∴ a= -1

【IV】
　　y= f(x)
　　y= g(x)
が２点で交わるとき
　　y= g(x)
の y切片は a だから
交点の１つが 0≦x≦2 の範囲にあるためには
グラフより a ＜0 が必要条件

a ＜0 のとき y= g(x) は傾き負の直線だから
グラフより交点の１つが 0≦x≦2 の範囲にあると
もう１つは 2<x の範囲になければならない

f(0) ≦ g(0) かつ f(2) ＞ g(2)
∴ -2 ≦ a かつ -4 ＞ 3a
よって
　　-2 ≦a＜ -4/3

【III】【IV】より
　　a = -1, -2 ≦a＜ -4/3
---------------------

【質問1】
答えはどちらの解法でも同じになるのですが、私は模範解答には穴があるような気がしてなりません。
そもそもこの模範解答は、私と別の高校の生徒が、事前に学校教師に見せてＯＫをもらった上で、板書した解答なのです。だから、「もしその先生が見落としたのだと仮定すれば」、あちらこちらアラがある可能性はありますし、私が直接その先生に「これが本当に満点の解答なのか」と確かめることもできません。

私が疑問に思っていることの１つ目は、【I】において、さらっと
　　a < 0 より
としていることです。
図より、傾きが負（右下がり）になることが期待されたとしても、【III】のような簡単な検証は必要でないんでしょうか？
模試や記述式入試で減点されないために、
　　a < 0 は自明として良いのか
もっとうまくて簡潔な説明はあるのか、教えてください。

【質問2】
長くてすみませんが、関連質問は一度に投稿すべきだと思うので続けます。
【II】でも【IV】でも、良し悪しはなく満点の解答でしょうか？
私は、【II】の、特定の点（なんて呼んだら良いのかわからないので、(0, -2)と(2, -4)を、「端点」と呼ぶことにします）を通るときの傾きを求める、というやり方にある程度共感はしますが、
　　「式4 の直線が (0, -2) を通るとき」の解き方が乱暴
な気がしてしかたありません。

まず、y= ax +a が(0, -2)を通る、という代入の時点で、ｘ≠0ならよくわかりますけれど、ｘ＝0を代入するのは、なんかとても危険な解法（直線がｙ軸に平行に可能性をはらむ）のような気がしてなりません。
今回たまたま、　y= ax +a　と　y= -x^2 + x -2　と　ｙ軸　は一点(0, -2)で交わっていますが、仮に　y= -x^2 + x -3　のように少しでもずれていたらこの解法は使えなかったのではないか、というのが私の一つの根拠です。でもうまく説明できません。
y= ax +a　は見た目通り、ｙ切片a　ですが、ｘの定義域の最小値0のとき、「(0, -2)を通る」ということ大前提でそのまま代入して良かったのでしょうか？　ｙ軸に平行な直線だったらそもそも　y= ax +a　の形にならなくないですか？

それに、【II】だと、(0, -2) を通るとき、という a の値は求められても、本当にそのときのもう一つの交点は、 0≦x≦2 の範囲にはない、ということは確かめていない気がしてなりません。正確な図さえ描いていれば、「図より」と描くだけで自明、として良いのですか？
ちなみにもう一つの交点は (3, -8) です。しかしこの模範解答者は、それは図に描き入れていません。

【質問3】
私も初めは気付かなかったのですが、この質問のために図を描き直していると、赤も黄も緑も青も、全ての直線が、(-1, 0) を通ることに気付きました。この問題は「恒等式」の範囲に載っていたわけではないのですが、
　　a (x +1) = -x^2 + x -2 ・・・式2
の形を見ると、何か恒等式「っぽい」解法もありそうな気がします（別に、全ての a についてとか、全ての x についてとかいう問題ではありませんが）。
何か、【模範解答（解答A）】や【私の解答（解答B）】以外の、高校生らしい解答があったら教えてください。

長くてすみませんが、お知恵をお貸しください。

No.6 ベストアンサー 回答者： QoooL 回答日時： 2014/06/09 12:35

【質問1に対する回答】

穴ありますね。
a＜0　より
の部分が説明が足りません。
「グラフより傾き負」とするか、【解答B】のように丁寧に説明する必要があります。
接点まで求めなくても
「a＝7とすると　y=g(x)=7x+7 は x≧0 において y＞0 となるのでこの範囲で y=f(x) とは共有点を持たない」
で良いと思います（あくまでも、頂点、最大値を示している場合）。

【質問2に対する回答】
【II】より【IV】の方がはるかに良いと思います。

【II】の　式4 の直線が (0, -2) を通るとき　という言い方が雑です。
まず。
まず通るかどうかわからないのですから「通ると仮定すると」と語尾を注意しなければなりません。

でも (0, a) を通る直線が (0, -2) を通るかどうかを考えるときには、おっしゃる通り
「y=ax+a では表せない直線、つまり x=b」
も考えないといけませんね。

それに 左辺 a、右辺 -2　を求めて左辺＝右辺を言う、だから通る、というのも雑です。


＞【II】だと、(0, -2) を通るとき、という a の値は求められても、本当にそのときのもう一つの交点は、 0≦x≦2 の範囲にはない、ということは確かめていない

これもおっしゃる通りです。

【質問3に対する回答】
x と a が出てきたから恒等式と思ったのかも知れませんが、恒等式ではありません。恒等式と言うなら
a (x +1) = -x^2 + x -2 ではなく
a (x +1) = 0　のような形
でなければなりません。

示していただいた以上に高校生向きな解答はないでしょう。

この回答へのお礼

ありがとうございます。すっきりしました。

お礼日時：2014/06/12 00:17

No.5 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/29 19:00

申し訳ありません。

穴ばかりの回答でお恥ずかしいかぎりです。。。

やはり等号を含めてしまうと議論に穴があいてしまうようです。
曲線がが（０，０）かあるいは（２，０）を通っているときに、さらにもう１点（０，２）の間でぶつかっている可能性は否定できませんでした。

場合分けとしては

（I）頂点が（０，２）で接する　→　a=-1

(II) (0,2)の区間（端点である０と２は含まない）で１点で交わる
つまり　f(0)f(2) < 0 　→　-2 ＜a＜ -4/3

（III) 端の点ｘ＝０で交わる　
つまり、f(0) = 0 かつ f(2) < 0 →　a = -2

(IV) ｘ＝２で交わる
つまり、f(0) < 0 かつ　f(2) = 0 →　解なし

よって結果は

a=-1、-2 ≦a＜ -4/3

です。質問者様の回答の通りでした。
回答をして質問者様を余計に悩ませるようなことをして申し訳ありませんでした。

私の他の回答で
f(0) f(2) ≦0
と等号を入れてしまいますと、（IV)のところで解なしとなるべき答えのところが、ｆ（０）＞　０　ｘとともにグラフが下がり、ｘ＝1/3のところでグラフがx軸とまじわり、頂点を過ぎてふたたび上昇してｘ＝２のところでｘ軸と交わる場合も、
ｆ（０）ｆ（２）＝０
なので条件を満たしてしまっていました。ここが間違いのもとでした。

ｆ（０）ｆ（２）　＜　０

と（０，２）の区間（０と２を含まない）を１点だけで交わるということを強調した条件と、０と２のどちらかで交わるという条件は分けて考えたほうが混乱せずにシンプルでした。

ちなみに元のグラフはaの値にかかわらず、

ｆ（－１）＝４

ですので、（－１、４）を通りますが、ここから言えることはそれほど多くはないと思います。

この回答へのお礼

何度もお付き合いありがとうございます。

いえいえ、新しい解法を示していただいただけでたいへん助かっておりますので、そんなに恐縮なさらないでください。
お返事遅くなってすみません。検証をしてみて、納得いたしました。

別に非難ではなく、私自身も同じ解法で進めていたら同じところを見落としてしまいそうです。数学って恐いなあ＆おもしろいなあと思いました。


１週間～１０日ほどおいてから締め切らせていただきます。
同じ方からも他の方からも引き続き　いろいろなご指摘　を募集しておりますので、皆さまよろしくお願いします。

お礼日時：2014/05/29 23:57

No.4 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/29 01:26

すみません、再度No.2です。

私の回答には穴がありました。ふたつの場合を見逃していました。

ひとつは
f(0) = 0 かつ　f(2) < 0、つまり　a=-2 のときです。

もうひとつは
f(0) < 0 かつ　f(2) = 0 のときですが、これを満たすaは存在しません。

したがって結局答えは
a = -1, -2 ≦a≦ -4/3

となります。


場合分けが多くてめんどくさく感じますが、実は結局はふたつの場合分けで十分でした。

（ア）頂点が0≦x≦2でｘ軸と接する場合。

（イ）f(0) x f(2) ≦ 0 の場合です。

最初にNo.2で（イ）のやり方をとらなかったのはf(0) = f(2) = 0 と解がふたつ現れるのを防ぎたかったからなのですが、よくよく考えてみたら、

f(0) = a+2
f(2) = 3a+4

なので同時に０になることはありませんでした。
したがって、

f(0) x f(2) = (a+2)(3a+4) ≦ 0

を満たす範囲は　-2 ≦a≦ -4/3　です。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

確かにおっしゃる通り考え過ぎだったかも知れません。
h(X) = ( X - (1-a)/2 )^2 + (1/4)( -a^2 +6a +7 )
とおいて
頂点（　(1-a)/2，(1/4)( -a^2 +6a +7 )　）
の位置を考える方がシンプルでした。

実は、もともと板書の模範解答を書き写したのは私ではなく、私は模範解答を見ながら別のやり方をしたので、
y = a X + a　とおく
というやり方に引きずられてしまいました。
まあそれはそれで、ａに関係ある式とａに無関係の式に分離できて、
無関係の方はグラフに描きやすいので、良かったのかなと思います。


一つ、明確な疑問が湧いてきました。
示してくださった解答方針には疑問はないのですが、等号の有無について、失礼ですけど　ミス　が見つけられなくて（私の方からも回答者さんの方からも）、目下苦しんでいます。
私の答えをコピペしたら間違いだった、とおっしゃいましたけれども、
　a = -1,　-2 ≦a＜ -4/3
は割と信用できる答えだと思っています。学校の先生もさすがに、「結論」の部分のミスを見落として全員に板書を写させたりしないでしょう？

a = -4/3　とするとまずいと思います。
元の式に代入すると
　　X^2 + (-7/3)X + 2/3 = 0
ですので、
　　X = 2,　1/3
という２つの解を持つことになり、題意に反します。

私が添付したグラフにおいても、
　　緑線　（青線との見分けがしにくいですが、黄線のすぐ上の、（2，-4）を通る線）
は（1/3，-16/9）（2，-4）の２点で交わるので、傾きはこのときの -4/3　よりもわずかに小さくないといけないとわかります。

しかし、いただいたご回答は完璧のように見えるので、なぜ等号でこのような問題が生じるのか　がわからずに新たな悩みとなっています。


ちなみにいただいたご回答では（-1，0）は特に出て来ないのですね。何も　X = -1　は特に注目する必要はないのでしょうか？

お礼日時：2014/05/29 18:32

No.3 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/28 23:50

すみません、No.2ですが、入力がめんどくさかったので質問者様の回答から一部コピペしましたが、

-2 ≦a＜ -4/3

ではなく

-2 ＜a≦ -4/3

のような気がします。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＃４にまとめさせていただきます。

お礼日時：2014/05/29 17:58

No.2 回答者： gomagoma427 回答日時： 2014/05/28 23:45

なんだかものすごく難しいことをしているように感じます・・・。

模範解答、と言えるほどスマートな回答はできませんが、私なら３つに場合わけします。

場合分けの前にまず

f(x) = x^2 + (a-1)x +a+2

とおきます。まず簡単なふたつの場合として、これが　0≦x≦2　の間に1点だけでｘ軸と交わる場合、

（I) f(0) ≦ 0 かつ　f(2) > 0

(II) f(2) ≦ 0 かつ　f(0) >0

の場合が考えられます。

ここで
f(0) = a+2
f(2) = 3a+4

ですので、（I)のふたつの範囲を同時に満たすaは存在しないので、（I）の場合はありえません。

（II)は　-2 ≦a＜ -4/3　となります。


３つ目の場合として、頂点が接している場合が考えられます。
これは平方完成して頂点を求めます。

（(1-a)/2 , -(a-1)^2/4 + a + 2)

ここで頂点のｘ座標は0≦x≦2 になければいけないので、

0≦　(1-a)/2　≦2　であり、つまり

-3≦a≦1

です。一方で頂点のｙ座標はゼロでなければならないので、

-(a-1)^2/4 + a + 2　＝０

を解きますが、これは基本的に判別式が０と一緒なので質問者様が解いたとおり
(a+1)(a-7)=0

となります。頂点のｘ座標から求めたaの範囲により、a=-1となります。

したがって、
　　a = -1, -2 ≦a＜ -4/3

が答えとなります。

この回答へのお礼

ありがとうございます。

＃４にまとめさせていただきます。

お礼日時：2014/05/29 17:57

No.1 回答者： spring135 回答日時： 2014/05/28 22:28

模範解答なるものが厳密な根拠を示さないで思いつきでa<0を持ちこんでいるのなら完全に０点です。

数学は思い付きは論理として認めていません。

すべて必然性（必要十分条件）下の展開だけが正しいと扱われます。

質問(2,3)に関しては質問者が添付している図を示して話を進めているのなら大過ないと思います。

私は判別式なるものが大嫌いで従って2次方程式を壊して考えようとします。

x^2 + (a-1)x +a+2 = 0

ならば

x=-1の時を別途調べて、

a=-(x^2-x+2)/(x+1)=-[4/(x+1)+(x-2)]

と変形して

y=-[4/(x+1)+(x-2)]　　(1)

と

y=a

の交点を考えます。(1)は双曲線、簡単に描ける図形でy=aとの交点云々も一目瞭然です。

この回答へのお礼

早速のご解答ありがとうございます。

判別式は正に必要十分の代表格、と思っていたのですが、お嫌いな方もいらっしゃるのですね。

a＝　の形に持ち込まれるのは目からウロコで、とても勉強になりました。

私にとっては、
y=-[4/(x+1)+(x-2)]
のグラフ
（x=-1 と y=x-2 を漸近線とする？）
を描くときに
y=-4/(x+1)
y=-(x-2)
の合成を考える時点で尻込みしてしまいそうですが、
今後このやり方もできるようにしてみようと思います。

ちなみに、
＞x=-1の時を別途調べて、
の部分ですが、
　　x^2 + (a-1)x +a+2 = 0
は
　　4=0
となってしまうので、
　　x=-1となることはあり得ない（漸近線の交点）
となって、この時のaの値は考える必要ない、
ということなのかな、と理解いたしました。

ありがとうございました。

お礼日時：2014/05/28 23:10