数学(濃度？)です！どうしてもわかりません！

Question

[問題]
薬品Xと薬品Yを1:9の割合で含む混合薬Pが500g、薬品Xと薬品Yを7:3の割合で含む混合薬Qが1000gある。この2種類の混合液を使って、薬品Xと薬品Yを9:11の割合で含む混合薬Rを作るとき、その最大量を求めよ。

との問題です。

答えは1200gのようですが、解法はわかりません。

すいません、いろいろ考えた結果手も足も出なかったので、解ける方、解法いただけると助かります。

yyssaa · Accepted Answer

＞
混合薬P(500g)の構成は薬品Xが50g、薬品Yが450g。
混合薬Q(1000)gの構成は薬品Xが700g、薬品Yが300g。
混合薬Rを作るのに混合薬Pをpg、混合薬Qをqg使ったとすると、
混合薬Rは(p+q)g出来る。その構成は
混合薬Pに含まれえる薬品Xが(50p/500=p/10)g、薬品Yが(450p/500=9p/10)g。
混合薬Qに含まれえる薬品Xが(700q/1000=7q/10)g、薬品Yが(300q/1000=3q/10)g。
よって、混合薬Qに含まれえる薬品Xはp/10+7q/10=(p+7q)/10 gで、
同じく薬品Yは9p/10+3q/10=(9p+3q)/10 g。
この割合が9:11だから、(p+7q)/(9p+3q)=9/11。計算してp:q=5:7。
すなわち混合薬Rを作るには混合薬Pと混合薬Qを5:7の割合で混ぜる
必要があり、混合薬Pが全量で500gだから、それに混合薬Q1000gの
うちの700gを混ぜた1200gが混合薬Rの最大量になる。

ORUKA1951 · Answer

No.3です。
一箇所間違えた

＞薬品Xと薬品Yを9:11の割合で含む混合薬Rを作るとき、
　　→ (9X + 11Y)
＞薬品Xと薬品Yを1:9の割合で含む混合薬P、薬品Xと薬品Yを7:3の割合で含む混合薬Q
　ですから、Pの量をA、Qの量を
　　A(1X + 9Y) + B(7X + 3Y) →
要は、目的の溶液を1作るとすると
　　A(1X + 9Y) + B(7X + 3Y) → 9X + 11Y
　　AX + 9AY + 7BX + 3BY → 9X + 11Y
　　AX + 7BX + 9AY + 3BY → 9X + 11Y
　 (A + 7B)X + (9A + 3B)Y → 9X + 11Y
よって、
　　 A + 7B =　9
　　9A + 3B = 11　　これを連立一次方程式として解く。

計算方法は省略
　　A　　　= 5/6
　　B　　　= 7/6

A = 5/6、B = 7/6 ですので・・
　　Pの量(A) : Qの量(B) = 5 : 7　　ここ間違えた

＞Pが500g、混合薬Qが1000gある。
　のですから、QはAの7/5倍しか要らないのにPの倍あるのですから、
混合液は、もっぱら【Ｐの量(A)】に制約される。
　よって、Pを500g使用すると、Qは700gだけ使用する。
　500g + 700g = 1200g

ORUKA1951 · Answer

必要な量の比を求めてから・・・

＞薬品Xと薬品Yを9:11の割合で含む混合薬Rを作るとき、
　　→ (9X + 11Y)
＞薬品Xと薬品Yを1:9の割合で含む混合薬P、薬品Xと薬品Yを7:3の割合で含む混合薬Q
　ですから、Pの量をA、Qの量を
　　A(1X + 9Y) + B(7X + 3Y) →
要は、目的の溶液を1作るとすると
　　A(1X + 9Y) + B(7X + 3Y) → 9X + 11Y
　　AX + 9AY + 7BX + 3BY → 9X + 11Y
　　AX + 7BX + 9AY + 3BY → 9X + 11Y
　 (A + 7B)X + (9A + 3B)Y → 9X + 11Y
よって、
　　 A + 7B =　9
　　9A + 3B = 11　　連立一次方程式として解く。

1　　7 |　9
　　9　　3 | 11　　　9*(1)を引く

1　　7 |　 9
　　0　-60 | -70　　 -60で割る

1　　7 |　9　　　7*(2)を引く
　　0　　1 | 7/6

1　　0 | 5/6
　　0　　1 | 7/6

A　　　= 5/6
　　B　　　= 7/6

A = 5/6、B = 7/6 ですので・・
　　Pの量(A) : Qの量(B) = 5 : 6

＞Pが500g、混合薬Qが1000gある。
　のですから、【Ｐの量(A)】に制約される。
　よって、Pを500g使用すると、Qは700g使用する。
　500g + 700g = 1200g

QoooL · Answer

ひとまずｇでなく、割合で考えることにします。
ＰとＱを　a：b　の割合で混ぜることにすると、

Ｐ由来のＸ
1a

Ｐ由来のＹ
9a

と表せるわけです。
もちろん
（Ｐ由来のＸ）：（Ｐ由来のＹ）＝　1a：9a　＝1：9
です。
同様に

Ｑ由来のＸ
7b

Ｑ由来のＹ
3b

と表せます。

aとbの比較ですけど、100ｇずつ等量混ぜるときがわかりやすいですね。
a：b＝1：1　と仮定すれば、
（Ｐ由来のＸ）：（Ｑ由来のＸ）＝　1a：7b　＝1：7
というように、分母の異なるものどうしの比較ができます。

a：b＝1：2　と仮定すれば、
（Ｐ由来のＸ）：（Ｑ由来のＸ）＝　1a：7b　＝1：14
です。

これを突き詰めれば、全てのa：bについて
（Ｐ由来のＸ）：（Ｑ由来のＸ）＝　1a：7b
と表せるのです。

同様に
（Ｐ由来のＹ）：（Ｑ由来のＹ）＝　9a：3b

これにより
1a+7b=9　　・・・式1
9a+3b=11　　・・・式2
とおけます。
（右辺の9や11に単位なし。9kや11kとおいても良い。）

式1＋式2　より
10a+10b=20
よって　a+b=2　　・・・式3
式1－式3　より
6b=7

よって
b=7/6
式3に代入して
a=5/6

これにより
a：b＝(5/6)：(7/6)　＝5：7
が求められます。
　
ＰとＱを　5：7　の割合で混ぜるのです。どちらが先になくなるかを考えれば、
仮にＰ500ｇ全てを使い切ったときに　Ｑは700ｇ必要で（暗算で出ますね）、Ｑはまだ余っていますから、
Ｐの方が先になくなることがわかります。

逆に　Ｑ1000ｇ全てを使い切るには　Ｐが　5000/7　ｇ（約714ｇ）必要ですから、やはりＰが足りない（先になくなる）ことが確かめられます。

以上より、
Ｐ500ｇとＱ700ｇを混ぜて、できるＲは1200ｇ

QoooL · Answer