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X^2+Y^2=a^2 ・・・(1)
の直交曲線を求めよという問題です。途中まで自分で解いてみたんですがそこからがわかりません。下に自分が解いたものを載せておきます(途中までですが)。
(1)をxで微分すると
2x+2yy'=0
ここで(1)の曲線郡に属する1つの曲線L上の1点
P(x,y)におけるLの接線の傾きをmとすると(1)より
2x+2ym=0 ・・・(2)
となる。次に点Pを通る直交曲線のL'の傾きをm'とすれば、mm'=-1であるからm=-1/m'である。これを(2)に代入すると
2x-2y/m'=0 ・・・(3)
となる。また点P(x,y)を通る直交曲線L'の方程式をY=Y(x)とすれば、点PでY'=m'である。これを(3)に代入すると
xY'-y=0 ・・・(4)
となる。(4)は直交曲線の微分方程式であるから、この微分方程式を解くと直交曲線が求まる。
ここまでは解けたんですけど、(4)の微分方程式の解き方がわかりません。ちなみにここまでの考え方であってるんですかね?もっと良い解き方があったら教えてください。お願いします。
No.1ベストアンサー
- 回答日時:
標準的解法は
(A1) y'/y = 1/x
から
(A2) log y = log x + a <==> y = cx
でしょう(a = log c).
a あるいは c は積分定数.
(4') y' = y/x
からも(つまり,微分するのが x で割ったと同じことになる),
y=cx であるのはすぐにわかります.
また,元の曲線は原点を中心とする円ですから,
それに直交する曲線群は原点を通る直線(つまり,円の直径を延長したもの)
であるのは直感的に明らかでしょう.
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