最大公約数と最小公倍数の関係

ある整数と１８の最大公約数は９、最小公倍数は５４です。ある整数を求めよ。

この問題を小学生に分かりやすくご解説いただけませんでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： redgarbera 回答日時： 2014/08/19 10:52

お絵かき機能が使えないのでうまく説明できるか自信がないのですが。

その小学生（あなたのお子さんでしょうか）は最大公約数や最小公倍数の出し方は知ってますか。
例えば24と42の最大公約数や最小公倍数を出す場合、24と42を並べて書き、その左にどちらも割ることのできる数を書きます。この場合は６ですね。
そして24の下には24÷６の答えの４を書き、42の下には42÷６の答えの７を書きます。
これで、最大公約数は６、最小公倍数は６×４×７の168だということがわかります。
これは「すだれ算」などと呼ばれるものですが、これをその小学生は知っていますか。
ここでは知っているものとして説明します。

ある数を□としましょう。□と18を並べて書きます。
この二つの数の最大公約数が９だということは、二つの数が９で割れたということですよね。
だから、□と18の左に９と書きます。
□の下には□÷９の答えを書きたいのですが、□がわからないので□÷９もわかりません。そこでとりあえず△と書きます。
18の下には18÷９の答えの２を書きます。
そうすると、最小公倍数は９×△×２ですね。そしてこれが54なのですから、△は54を９と２で割って３ですね。
そうすれば、□÷９が３なのですから□は27と出ますね。

というわけで、最大公約数や最小公倍数の問題では、わからない数を□や△の記号にして「すだれ算」を書くというのが基本です。
わかりにくいところがあったら補足をつけて下さい。。

この回答へのお礼

丁寧で分かりやすい説明をありがとうございました！
早速息子に教えてみたいと思っております。

お礼日時：2014/09/06 22:36

No.4 回答者： opiok 回答日時： 2014/08/19 09:02

ある整数と18の最大公約数は9、最小公倍数は54であることから、ある整数は54以下の9の倍数であることはよろしいでしょうか。

このうちある整数が9であれば、最小公倍数は9×2=18、ある整数が18であれば最大公約数も最小公倍数も18になります。
よって、ある整数の候補としては、27、36、45、54があります。
18=9×2であり、36=9×4=9×2×2、54=9×6=9×2×3なので、それぞれ9×2=18で割り切れ、この場合には最大公約数が9×2=18になります。
残る27と45について考えると、27=9×3、45=9×5です。
これと18=9×2を比較すると、3÷2も5÷2も整数にはならないので
18と27の最小公倍数は18×3=9×2×3=27×2=9×3×2=54
また、18と45の最小公倍数は18×5=9×2×5=45×2=9×5×2=90
以上から、ある整数は27であることが分かります。

この回答へのお礼

ご丁寧に解説していただき、心より感謝いたします。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/09/06 22:40

No.3 回答者： asisai888 回答日時： 2014/08/18 23:22

因数分解を絡めて教えてあげると分かりやすいと思います

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2014/09/06 22:39

No.2 回答者： akinomyoga 回答日時： 2014/08/18 23:21

■先ず、中学生以上向けに。

m, nを整数、gcd(m,n) を最大公約数、lcm(m,n) を最小公倍数とすると、その関係は
　　m n = lcm(m,n) gcd(m,n) …(1)
です。今回の場合に当てはめると、
　　ある整数×18 = 最小公倍数×最大公約数
なので、
　　ある整数 = 最小公倍数×最大公約数÷18 = (54×9)÷18 = 27
です。

★式(1)の説明
最小公倍数 lcm(m,n) を求めるには、先ず a m = b n となる様な最小の整数の組 a, b を求めます。a m = b n より、a/b = n/m となる a,b の最小の組を求めます。これは n/m の約分の問題と同じであり、a = n/gcd(m,n)、b = m/gcd(m,n) となります。この時
　　lcm(m,n) = a m = m (n/gcd(m,n)),
　　lcm(m,n) gcd(m,n) = m n
です。

(↓小学生向けの説明の方が余程難解ですね…方程式も移項も素因数分解も変数も使えないのですよね? 割り算・分数として / も使えない? 等式は左から右への式変形の流れでしか使えない?)
■小学生向けの説明

まず、"分子/分母" は分数を表すことにします。
　分子
-------- = 分子/分母 と書く。
　分母

今、一つ目の整数と二つ目の整数の最小公倍数について考えます。

最小公倍数は、一つ目の整数の倍数
　　○×一つ目の整数
(○には整数が入る)であり、同時に、二つ目の整数の倍数
　　□×二つ目の整数
(□には整数が入る)となるような整数のうち、いちばん小さいものです。つまり、
　　最小公倍数 は ○×一つ目の整数 であり、また □×二つ目の整数 でもある。
　　ただし、○と□はできるだけ小さいものを選ぶ。
ということです。

できるだけ小さい○と□を見つけ出すために、次のような分数を考えましょう。
　　一つ目の整数 / 二つ目の整数
　　　= (最小公倍数×一つ目の整数) / (最小公倍数×二つ目の整数)
　　　= ((□×二つ目の整数)×一つ目の整数) / ((○×一つ目の整数)×二つ目の整数)
　　　= (□×(二つ目の整数×一つ目の整数)) / (○×(一つ目の整数×二つ目の整数))
　　　= □ / ○。
つまり、
　　一つ目の整数 / 二つ目の整数 と □ / ○ は同じ
という関係があります。上の式をみれば、できるだけ小さい○と□を見つけるということは、つまり、分数「一つ目の整数 / 二つ目の整数」を約分するということだと分かります。約分は、
　　一つ目の整数 / 二つ目の整数
　　　= (一つ目の整数÷△) / (二つ目の整数÷△) = □ / ○
の様に行います。ここで、
　　□ は 一つ目の整数÷△ で、
　　○ は 一つ目の整数÷△です。
また、△は分子と分母の両方を割り切ることができる最大の整数です。つまり△は一つ目の整数と二つ目の整数の最大公約数です。この事から、
　　□ は 一つ目の整数÷最大公約数で、
　　○ は 一つ目の整数÷最大公約数です。
これで、□と○に入る整数が分かりました。

ここで、最小公倍数は ○×一つ目の整数 だったので、
　　○×一つ目の整数
　　　= (二つ目の整数÷最大公約数)×一つ目の整数
　　　= (一つ目の整数×二つ目の整数)÷最大公約数
つまり、最小公倍数 は (一つ目の整数×二つ目の整数)÷最大公約数 になります。ここで、次のような計算をします。
　　一つ目の整数
　　　= 一つ目の整数 / 1
　　　= (一つ目の整数×(二つ目の整数÷最大公約数)) / (1×(二つ目の整数÷最大公約数))
　　　= ((一つ目の整数×二つ目の整数)÷最大公約数) / (二つ目の整数÷最大公約数)
　　　= 最小公倍数 / (二つ目の整数÷最大公約数)
　　　= 54 / (18÷9)
　　　= 54 / 2
　　　= 27。
つまり、ある整数は 27 になります。

この回答へのお礼

ご丁寧に解説していただき、心より感謝いたします。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/09/06 22:41

No.1 回答者： asuncion 回答日時： 2014/08/18 22:09

18より大きい9の倍数

かつ
54の約数

27

この回答へのお礼

ご丁寧に解説していただき、心より感謝いたします。
ありがとうございました。

お礼日時：2014/09/06 22:42