折れ線と曲線との違い、多角形にはハート形も含むか

ウィキペディアによると、「多角形（たかくけい、たかっけい、英: polygon）とは、平面上の閉じた単純折れ線、および平面上の閉じた単純折れ線によって囲まれた図形のことを指す。 折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線を言う。 」とあります。

この定義からは、折れ線はジグザグだけでなく曲線も含むように読めますが・・・

(1)折れ線はジグザグだけでなく曲線も含むのでしょうか?

(2)もし折れ線が曲線を含むとすると、多角形は、ハート形も含みますか?

(3)もし折れ線が曲線を含むとすると、多角形は、円形や楕円形も含みますか?

No.4 回答者： trytobe 回答日時： 2014/10/29 20:53

Wikipedia だけ見ると、そういうおかしな説明があるので、あまり頼りすぎないで、いろんな説明を読んだほうがいいですよ。

ｎ角形は「直線ｎ本で囲われた図形」、という根本に帰れば、折れ線の定義で多角形に悩む必要もありません。

(1) 含まないのが一般的です。そうしないと、(2)(3)みたいな話が出るとともに、曲線に折れ線が入るかもしれない、という逆の議論もありえますから。

(2)(3) については、他の回答にもあるように、なめらかに連続している線か、接線にあたるものが定義できない「折れ」の箇所があるか、という曲線と折れ線の違いから、どちらも含まない（あくまで多角形による曲線からなる図形の近似）と一般的にはとらえます。

No.3 回答者： chie65535 回答日時： 2014/10/29 16:57

追記。

＞折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線を言う

この場合の「曲線」は、ベン図で描いた「幾何学的な曲線」を言います。「幾何学的な曲線」は、ベン図の通り、内部に折れ線や直線（線分）を含みます。

国語で言う「滑らかにカーブした曲線（ベン図の「折れ線」の外側の部分のみ）」の事ではありません。折れ線や直線を含んだ「曲線」の事です。

そして、その「曲線全体」の中から「複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできるもの」だけに限定し、その限定した物を「折れ線」と言っているのです。

それが「折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線を言う」の説明です。

言い換えれば「（直線や折れ線を含む、広義での）曲線のうち、複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる物だけに限定した物を、折れ線と言う」です。

そして「多角形は閉じた折れ線で囲まれた図形」と言っているのです。

ここでの「折れ線」は、当然「複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる物だけに限定」されていますから「滑らかにカーブした曲線（ベン図の「折れ線」の外側の部分のみ）」が使われた図形は、多角形に含みません。

訳が判らなくなったら「図形」「閉じていない曲線図形」「閉じた図形」「円形」「楕円形」「ハート型」「半円形」「三角形」「四角形」「多角形」などを、ベン図に描いてみましょう。

No.2 ベストアンサー 回答者： chie65535 回答日時： 2014/10/29 16:41

質問者さんの中での「曲線」の定義が曖昧なので、こういう「意味不明な質問」になってしまいます。

幾何学での「曲線」とは「直線ではない線」の事です。

直線をどこか一箇所で折り曲げて「折れ線」にしてしまうと「直線ではなくなる」ので「曲線」になります。

放物線のように「緩やかに曲がっている線」も「直線ではない」ので「曲線」になります。

なお、数学では「直線」や「線分」も「曲線の特別な状態」として捉え「曲線に含まれる線」と扱う事があります。

一方、幾何学や数学に関係なく、国語的に言った場合の「曲線」は「角がなく、連続的に曲がっている線。カーブ」を意味します。なので、この場合は「折れ線」を含みません。

＞(1)折れ線はジグザグだけでなく曲線も含むのでしょうか?

幾何学的に言えば「折れ線は、曲線に含まれる線」です。

国語的に言えば「折れ線は、直線でも曲線でもない、折れた線（国語では「折れ線」は「折れ線」であり「曲線」には含めない）」です。

また「角がなく、連続的に曲がっている線」が幾つか繋がって出来た線は「折れ線」とは言いません。

＞(2)もし折れ線が曲線を含むとすると、多角形は、ハート形も含みますか?

質問が意味不明です。「折れ線は曲線に含まれる」けど「曲線は折れ線に含まない」です。

ベン図を描くと、曲線の集合の内側に折れ線の集合がスッポリ収まっています（図を参照）

なので、ハート型は多角形に含まれません。

＞(3)もし折れ線が曲線を含むとすると、多角形は、円形や楕円形も含みますか?

質問が意味不明です。「折れ線は曲線に含まれる」けど「曲線は折れ線に含まない」です。

なので、円形や楕円形は多角形に含まれません。

No.1 回答者： ORUKA1951 回答日時： 2014/10/29 16:34

＞折れ線とは複数の線分をその端点でつなぎ合わせてできる曲線

　ですから、接点で唯一の接線が書けません。両側二本、もしくは無限
ロピタルの無限小解析 : 接線の問題を中心に (数学史の研究) - 1787-20.pdf( http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku … )