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1/n^2と1/n^3の無限和の問題を教えて下さい

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  • 質問者：batorumosura
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

この問題が分かりません。
有界単調数列が有限極限値を持つことを利用して、Σ[n=1→∞]1/n^2 とΣ[n=1→∞]1/n^3が有限の値に収束する事を示しなさいという問題です。

教えて下さい、お願いします

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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： f272
  • 回答日時：

1/n^2も1/n^3も単調であることは簡単


有界であることは
1/n^2<1/((n-1)n)=1/(n-1)-1/n
1/n^3<1/((n-2)(n-1)n)=(1/2)(1/((n-2)(n-1))-1/((n-1)n))
を使って示せるだろう。
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この回答へのお礼

なるほど。
ありがとうございます。
助かります

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お礼日時：2014/11/10 20:39

No.1

  • 回答者： Tacosan
  • 回答日時：

「有界単調数列が有限極限値を持つことを利用して」って書いてるんだから, これらが「単調数列」であるかどうかは判断できるよね?



で, もし「単調数列」だとしたらあとは「有界」であればいいわけだから, これらより大きくってかつ収束する数列をもってこいってことになる. がんばれ.
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＞そこにX=πをいれればξ(2)=(1/6)π^2が成り立つと思っていたのですが、
＞そうではなくて全てF(X)=X^2で良いうことですか？


もう少し冷静になって理論展開をたどった方がいいと思います。

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Aベストアンサー

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例（４）Ｘを１次元ユークリッド空間として
Ａは開区間(0,1)の有理点。すなわち
Ａ= { x∈(0,1)｜xは有理数 }
とします。Ａの集積点（の集合）は閉区間[0,1]です。

MANIFESTさんがどのくらいの予備知識をお持ちなのかわからないので
答えにくいのですが、
集積点について質問されると言うことは少なくとも位相空間についての基本的な
用語くらいはご存知だと仮定して説明します。
距離空間はご存知でしょうね。

Ｘをある位相空間、ＡをＸのある部分集合とします。
x∈ＸがＡの集積点であるとは
xの任意の近傍とＡの共通部分にx以外のＡの点が少なくとも１つは含まれる
ような点のことです。
Ｘが距離空間なら、これは
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